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講義:截長補短法

時間:2023-05-01 07:22:08 資料 我要投稿
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講義:截長補短法

截長補短法

截長補短法是幾何證明題中十分重要的方法。通常來證明幾條線段的數(shù)量關系。 截長補短法有多種方法。 截長法:

(1)過某一點作長邊的垂線

(2)在長邊上截取一條與某一短邊相同的線段,再證剩下的線段與另一短邊相等。?? 補短法

(1)延長短邊。

(2)通過旋轉等方式使兩短邊拼合到一起。??

例1:在正方形ABCD中,DE=DF,DG?CE,交CA于G,GH?AF,交AD于P,交CE延長線于H,請問三條粗線DG,GH,CH的數(shù)量關系

B

A

方法一(好想不好證) 方法二(好證不好想)

B

A

B

M

A

例2、正方形ABCD中,點E在CD上,點F在BC上,?EAF=45。求證:EF=DE+BF

o

F

E

變形a

正方形ABCD中,點E在CD延長線上,點F在BC延長線上,?EAF=45。請問現(xiàn)在EF、DE、BF又有什么數(shù)量關系?

o

變形b

正方形ABCD中,點E在DC延長線上,點F在CB延長線上,?EAF=45。請問現(xiàn)在EF、DE、BF又有什么數(shù)量關系?

o

變形c

正三角形ABC中,E在AB上,F(xiàn)在AC上?EDF=45。DB=DC,?BDC=120。請問現(xiàn)在EF、BE、CF又有什么數(shù)量關系?

o

o

變形d

D

oo

正方形ABCD中,點E在CD上,點F在BC上,?EAD=15,?FAB=30。AD=,求?AEF的面

F

E

例3、正方形ABCD中,對角線AC與BD交于O,點E在BD上,AE平分?DAC。求證:AC/2=AD-EO

加強版

正方形ABCD中,M在CD上,N在DA延長線上,CM=AN,點E在BD上,NE平分?DNM。過E作EF?MN于F,請問MN、AD、EF有什么數(shù)量關系?

A

D

C

M

例4、、如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,E為CD的中點,EF∥AB交BC于點F (1)求證:BF=AD+CF;

(2)當AD=1,BC=7,且BE平分∠ABC時,求EF的長.

例5、已知梯形ABCD中,AB∥CD,BD⊥AC于E,AD=BC,AC=AB,DF⊥AB于F,AC、DF相交于DF的中點O.

(1)若點G為線段AB上一點,且FG=4,CD=3,GC=7,過O點作OH⊥GC于H,試證:OH=OF; (2)求證:AB+CD=2BE.

變形1.

如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,∠DCB=450,CD=2,BD⊥CD。過點C作CE⊥AB于E,交對角線BD于F,點G為BC中點,連結EG、AF。 (1)求EG的長;

(2)求證:CF=AB+AF。

變形2

已知:如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°.點E是DC的中點,過點E作DC的垂線交AB于點P,交CB的延長線于點M.點F在線段ME上,且滿足CF=AD,MF=MA. (1)若∠MFC=120°,求證:AM=2MB;

1

(2)求證:∠MPB=90°-∠FCM.

2

等腰三角形專題

一、知識點復習

1. 等腰三角形的判定定理

如果一個三角形中有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等(簡寫成“等角對等邊”)。

(1)該定理的作用:是證明兩條線段相等的重要定理,是將三角形中的角的相等關系轉化為邊的相等關系的重要依據(jù)。

(2)注意:該定理不能敘述為:如果一個三角形有兩個底角相等,那么它的兩腰也相等。因為在沒有判定出它是等腰三角形以前,不能用“底角”“腰”這些名詞,只有等腰三角形才有“底角”“腰”。 (3)等腰三角形的性質定理和判定定理是互逆定理 2. 等腰三角形判定定理的推論

推論1:三個角都相等的三角形是等邊三角形。

推論2:有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。

推論3:在直角三角形中,如果有一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。 說明:

(1)推論1和推論2是等邊三角形的判定定理,其中推論2中的60°角可以是頂角,也可以是底角。 (2)推論3是由等邊三角形的性質推出的關于直角三角形的一個性質,它反映了直角三角形中邊與角之間的關系。 注意:推論3的大前提是:“在直角三角形中”。①在證題時,如果只知道一個三角形有一個角為30°,那么說這個角的對邊等于鄰邊的一半就是錯誤的。②在證題時,如果只知道一個三角形中的一角所對的邊等于另一邊的一半,那么說這個角等于30°,這得三角形是直角三角形也是錯誤的。

3. 等邊三角形的判定方法

(1)運用定義:三條邊相等

(2)三個角相等

(3)有一個角是60°的等腰三角形

B F C

二、善于總結解題規(guī)律 規(guī)律1:經(jīng)過等腰三角形一腰上的點作底邊平行線分得三角形ADE為等腰三角形。經(jīng)過等腰三角形腰上一點作另一腰的平行線分得△BDF為等腰三角形。如圖所示,AB=AC,DE//BC,則△ADE為等腰三角形。DF//AC,則△BDF為等腰三角形。

規(guī)律2:將圖中的等腰三角形換成等邊三角形,則△ADE、△BDF均為等邊三角形。

規(guī)律3:如果一個三角形有一個角為30°,則應想辦法將30°角放在一個Rt△內;如果一個三角形有一個角為60°,則應想辦法構造等邊三角形。 以上規(guī)律的總體思路是

?特殊???等腰三角形運用全等知識

?特殊???等邊三角形

等邊(角)對等角(邊)三邊(角)相等

規(guī)律4:有角平分線或中點時,常用到的輔助線 (1)在角的兩邊截相等的線段,構造全等三角形; (2)過角平分線上一點向角兩邊作垂線;

(3)如有和角平分線垂直的線段時,常把它延長與角的兩邊相交構成等腰三角形; (4)有中線或有以線段中點為端點的線段時,常加倍它們,構造全等三角形。

作業(yè)

1、如圖所示,BD=DC,BF交AD,AC于E、F,若AF=EF,求證:BE=AC。

A

F

B D C

2、如圖所示,?ACB?3?B,?1??2,CD?AD于D,求證:AB?AC?2CD。

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