“把所有的都包起來”

作者：孫佳威付春紅

教學月刊：小學版 2015年05期

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》提出了“模型思想”這一概念.什么是模型思想？課標中雖然正式提出了模型思想的基本理念和作用，明確了模型思想的重要意義，但是對于教師來說，要想真正把模型思想融入課堂，幫助學生在數(shù)學課堂中建立起“數(shù)學模型”，卻不是一件容易的事情.甚至有許多一線教師認為，在課堂中實施了“問題情境—建立模型—解釋、應用與擴展”的模式就是在幫助學生建立模型，而這顯然是一種形式主義.那么究竟該如何幫助學生建立模型思想呢？觀摩了吳正憲老師的一節(jié)數(shù)學課，對我們頗有啟發(fā).

吳老師的教學內(nèi)容是人教版四年級上冊的“商的變化規(guī)律”一課.面對這樣一個被大家研究“透”的教學內(nèi)容，我們最大的疑問就是：吳老師還能怎樣上出彩？面對新課標，她的著眼點在哪？

上課伊始，吳老師像以往教學“商的變化規(guī)律”一課一樣，以“猴王分桃子”的情境，引導學生列出了三個算式：6÷2=3、60÷20=3、600÷200=3進行研究.面對這個熟悉的情境，我們的熱情一下降到了冰點，正當我們失望時，吳老師后面環(huán)節(jié)內(nèi)容的處理，給了我們一個又一個的驚喜.

驚喜一：借助直觀，淺悟模型

當學生對于“猴王分桃子”的三個算式有了初步的感悟后，吳老師沒有引導學生繼續(xù)糾結(jié)于幾個算式呈現(xiàn)的規(guī)律的研究，而是以幾何直觀的形式幫助學生繼續(xù)感悟規(guī)律：

師：孩子們，這其中的規(guī)律是什么呢？我們再來看一組題.

（出示右圖）：

師：你看到了什么？

生：我看到橫著的是表示有多少支筆，豎著的是表示多少元.

師：你知道它們之間有什么關(guān)系嗎？

生：買兩支筆就是10元，買4支筆就是20元，買6支筆就是30元，買8支筆就是40元.

（隨著學生說在圖上點出點來.）

師：想一想，買10支筆的點應該去哪了？

生：在直的線上再往上.

師：你有什么新的發(fā)現(xiàn)嗎？

生：商都是5.

師：那這個5又是什么呢？

生：一支筆的價錢.

師：你怎么求出來的？

生：我通過總的價格除以筆的支數(shù)求出每支筆的價格.

師：筆的數(shù)量和總的價格在發(fā)生著變化呀.

生：但是都是每支5元錢，不變.

此時老師沒有局限于圖的理解和學生的表達，而是引導學生用手勢一起再次感受.

師：你們的意思是——買的支數(shù)越來越多，錢也就越來越多，但是每支筆的價錢是永遠不變的.

（吳老師邊說邊一只手臂伸開代表橫軸，另一只手臂伸開代表縱軸，慢慢地延展開手臂，幫助學生逐步地感悟被除數(shù)和除數(shù)增加的過程，感悟商不變的原因.）

此時，學生對于“商不變”的理解絕不僅僅是抽象的算式，還有直觀圖形的感悟.正是這樣一幅圖的引入，就幫助學生把代數(shù)問題引入到圖形的理解中來，滲透了幾何直觀思維方式的同時，把商不變的`規(guī)律與直觀模型建立了緊密的聯(lián)系.

驚喜二：層層感悟，抽象模型

在這樣研究的基礎上，吳老師引導學生繼續(xù)研究算式的變化規(guī)律.

師：這些算式的商怎么就不變了？請大家選一組為例，把你的發(fā)現(xiàn)表示出來.

（學生進行小組研究.）

師：誰來說說你們的研究的過程和發(fā)現(xiàn)？

（學生展示自己的研究過程和發(fā)現(xiàn).）

師：你能根據(jù)你們的這個發(fā)現(xiàn)，再寫出幾組這樣的算式嗎？

生1：4÷2=2 40÷20=2

生2：8÷2=4 80÷20=4

生3：20÷5=4 200÷50=4

當學生興趣盎然地舉不勝舉時，他們心中對于商不變的規(guī)律已經(jīng)有了一定的感受，學生雖然沒有說出總結(jié)性、規(guī)律性的東西，但是商不變的規(guī)律大有呼之欲出的態(tài)勢.此時，吳老師恰如其分地引導：

師：你們說得完嗎？

生：永遠都說不完，太多了！一輩子也說不完！

師：那問題就來了，一輩子也說不完.（教師用一個……表示出來）就這個一輩子也說不完的事，你們能不能總結(jié)一下，用一句話或者一個式子來表示.你想到什么，就寫什么.

（學生自己靜下心來反思學習過程，嘗試寫出自己的感悟.）

師：展示一下你們的想法.

生1：我發(fā)現(xiàn)怎么也寫不完，永遠也寫不完.

生2：商與被除數(shù)、除數(shù)有關(guān)系.

師：你們想問他點什么？

眾生齊問：到底有什么關(guān)系？

生2：我發(fā)現(xiàn)它乘2、它也乘2，商就不變.（結(jié)合著一個算式說.）

生3：你乘10、我乘10，商就不變.

生4：你乘幾，我乘幾，商就不變.

師：這個你是誰？我是誰？商才不變呢？

生4：你就是被除數(shù)，我就是除數(shù).

師：看她就把前邊你們所表達的意思總結(jié)出來了.3號同學，你面對他的總結(jié)有什么要說的嗎？

生3：我沒有把所有都說全，還有的不是乘10呢，她就把所有的都說全了.在總結(jié)的時候，要把所有的情況都包起來.

師：對呀，要把所有的說全了，剛才有些同學的帽子有點小了.

師：我看到有的人還是這樣總結(jié)的（如下圖），你有什么想法嗎？

生：我覺得還可以把方框變成x.

師：你的x代表什么？

生：要是5就都是5，要是10就都是10.

在這個環(huán)節(jié)中，吳老師技巧性地、分層次地讓學生展示自己的想法，學生的想法逐步地由初步感知的“永遠也寫不完”到“你乘幾我也乘幾、商不變的表達”，最后用“x”這個簡潔符號來表示，不僅體現(xiàn)了學生由粗略體驗到細致分析、由形象感知到抽象歸納的過程，更重要的是他們體驗了一把建立模型的過程，正如生3在自我反思的過程中所說的：“要把所有的都包起來.”是呀，有了充分的體驗、層層的感知，學生的總結(jié)中終于提到了“要把所有的都包起來”，這個“把所有的都包起來”的符號表達就是幫助學生建立的抽象模型.

驚喜三：回顧過程，應用模型

如果說前面的學習過程是學生在教師引導下的一種抽象概括，那么怎樣讓學生在以后的學習中也能夠有所發(fā)現(xiàn)，也能嘗試用簡潔的方法來表達自己的發(fā)現(xiàn)，是這節(jié)課的一個重要的研究點，也是幫助學生積累活動經(jīng)驗的過程.于是吳老師引領大家回顧了整個學習過程.

師：我們來回頭看看，是怎樣總結(jié)出這個規(guī)律的.

大屏幕顯示畫面和過程：分桃子→買筆圖的觀察→自己寫式子→回到生活中驗證.

師：看這個圖，我們把單位“元”和“支”去掉，你還能根據(jù)它編一個小故事嗎？

生1：我買2塊糖用10元錢，買4塊糖20元錢……每塊糖5元錢的商不變.

生2：我去二姨姥姥家，2秒鐘跑10米，4秒鐘20米……每秒鐘跑5米的商不變.

如果說前面的過程是在建立模型的話，那這里吳老師就是在引領學生應用模型，把模型還原到現(xiàn)實生活中去應用.經(jīng)歷這樣的過程才算得上是一節(jié)完美的建模課.更讓人驚喜的是，吳老師模型的應用又再一次和幾何直觀建立了聯(lián)系.面對學生的“去二姨姥姥家”的事，我們所有的聽課教師都發(fā)出了會心的笑聲，笑聲中既有對吳老師睿智課堂的欽佩，更有對學生成功體驗的愉悅.

綜觀吳老師的授課過程，不難發(fā)現(xiàn)吳老師在走的其實也是那一條建模之路：

問題情境：抽象算式，說明研究的問題

建立模型：多層次、多方式的感知（算式、圖形、動作提示）→一般的敘述到抽象化、符號化表達

解釋、應用擴展：對圖形表達和符號化的理解，用生活中的實例解釋

當我們帶著無比艷羨的目光驚嘆之余，反思自己的課堂教學，我們也曾嚴格按照“問題情境—建立模型—解釋、應用與擴展”這樣的模式在進行摸索，我們的課堂怎么就那么別扭而又索然無味呢？對比之后終于豁然開朗，“建立模型”是引導學生在多層次感知中逐步地完善和抽象，是學生在學習過程中的一種體驗的提煉、一種過程的積累.我們的問題歸根結(jié)底還是出在了認識上、理念上，建立模型不是教師建立，而是學生建立，是教師幫助學生在豐富的感知中進行抽象的提煉.所以教師需要努力做到的僅僅是少一些急于求成、多一些耐心等待；少一些抽象說教、多一些形象感知；少一些包辦代替，多一些寬松體驗；少一些知識傳送，多一些經(jīng)驗積累.相信如此，我們的“建模課堂”也會像吳老師一樣不斷地給自己、給學生帶來“驚喜”！

作者介紹：孫佳威，北京市朝陽區(qū)教育研究中心（100000）；付春紅，北京市朝陽區(qū)望京南湖東園小學（100000）.

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