第3講  尾數(shù)和余數(shù)

一、知識(shí)要點(diǎn)

自然數(shù)末位的數(shù)字稱為自然數(shù)的尾數(shù)；除法中，被除數(shù)減去商與除數(shù)積的差叫做余數(shù)，

小學(xué)奧數(shù)知識(shí)講解3

。尾數(shù)和余數(shù)在運(yùn)算時(shí)是有規(guī)律可尋的，利用這種規(guī)律能解決一些看起來(lái)無(wú)從下手的問題。

二、精講精練

【例題1】 寫出除213后余3的全部?jī)晌粩?shù)。

【思路導(dǎo)航】因?yàn)?13=210＋3.把210分解質(zhì)因數(shù)：210=2×3×5×7，所以，符號(hào)題目要求的兩位數(shù)有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21.5×7=35，2×3×5=30，2×3×7=42.一共有7個(gè)兩位數(shù)。

練習(xí)1：

1.寫出除109后余4的全部?jī)晌粩?shù)。

2.178除以一個(gè)兩位數(shù)后余數(shù)是3.適合條件的兩位數(shù)有哪些？

3.寫出除1290后余3的全部三位數(shù)。

【例題2】 （1）125×125×125×……×125[100個(gè)25]積的尾數(shù)是幾？

（2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100個(gè)（21×26）]積的尾數(shù)是幾？

【思路導(dǎo)航】（1）因?yàn)閭�(gè)位5乘5，積的個(gè)位仍然是5，所以不管多少個(gè)125相乘，個(gè)位還是5；

（2）每個(gè)括號(hào)里21乘26積的個(gè)位是6，我們只要分析100個(gè)6相乘，積的尾數(shù)是幾就行了。因?yàn)閭�(gè)位6乘6，積的個(gè)位仍然是6，所以不管多少個(gè)（21×26）連乘，積的個(gè)位還是6。

練習(xí)2：

1.21×21×21×……×21[50個(gè)21]積的尾數(shù)是幾？

2.1.5×1.5×1.5×……×1.5[200個(gè)1.5]積的尾數(shù)是幾？

3.（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000個(gè)（12×63）]積的尾數(shù)是幾？

【例題3】 （1）4×4×4×…×4[50個(gè)4]積的個(gè)位數(shù)是幾？

（2）9×9×9×…×9[51個(gè)9]積的個(gè)位數(shù)是幾？

【思路導(dǎo)航】（1）我們先列舉前幾個(gè)4的積，看看個(gè)位數(shù)在怎樣變化，1個(gè)4個(gè)位就是4；4×4的個(gè)位是6；4×4×4的個(gè)位是4；4×4×4×4的個(gè)位是6……由此可見，積的尾數(shù)以“4，6”兩個(gè)數(shù)字在不斷重復(fù)出現(xiàn)。50÷2=25沒有余數(shù)，說明50個(gè)4相乘，積的個(gè)位是6，

備考資料

《小學(xué)奧數(shù)知識(shí)講解3》(http://www.dameics.com)。

（2）用上面的方法可以發(fā)現(xiàn)，51個(gè)9相乘時(shí)，積的個(gè)位是以“9，1”兩個(gè)數(shù)字不斷重復(fù)，51÷2=25……1.余數(shù)是1.說明51個(gè)9本乘積的個(gè)位是9。

練習(xí)3：

1.24×24×24×…×24[2001個(gè)24]，積的尾數(shù)是多少？

2.1×2×3×…×98×99，積的尾數(shù)是多少？

3.94×94×94×…×94[102個(gè)94]－49×49×…×49[101個(gè)49]，差的個(gè)位是多少？

【例題4】 把1/7化成小數(shù)，那么小數(shù)點(diǎn)后面第100位上的數(shù)字是多少？

【思路導(dǎo)航】因?yàn)?/7≈0.142857142857……，化成的小數(shù)是一個(gè)無(wú)限循環(huán)小數(shù)，循環(huán)節(jié)“142857”共有6個(gè)數(shù)字。由于100÷6=16……4，所以，小數(shù)點(diǎn)后面的第100位是第17個(gè)循環(huán)節(jié)的第4個(gè)數(shù)字，是8。

練習(xí)4：

1.把1/11化成小數(shù)，求小數(shù)點(diǎn)后面第2001位上的數(shù)字。

2.5/7寫成循環(huán)小數(shù)后，小數(shù)點(diǎn)后第50個(gè)數(shù)字是幾？

3.有一串?dāng)?shù)：5、8、13、21、34、55、89……，其中，從第三個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)恰好是前兩個(gè)數(shù)的和。在這串?dāng)?shù)中，第1000個(gè)數(shù)被3除后所得的余數(shù)是多少？

【例題5】 555…55[2001個(gè)5]÷13.當(dāng)商是整數(shù)時(shí)，余數(shù)是幾？

【思路導(dǎo)航】如果用除法硬除顯然太麻煩，我們可以先用豎式來(lái)除一除，看一看余數(shù)在按怎樣的規(guī)律變化。

 

從豎式中可以看出，余數(shù)是按3、9、4、6、0、5這六個(gè)數(shù)字不斷重復(fù)出現(xiàn)。2001÷6=333……3.所以，當(dāng)商是整數(shù)時(shí)，余數(shù)是4。

練習(xí)5：

1.444…4÷6[100個(gè)4]，當(dāng)商是整數(shù)時(shí)，余數(shù)是幾？

2.當(dāng)商是整數(shù)時(shí)，余數(shù)各是幾？

（1）666…6÷4[100個(gè)6]

（2）444…4÷74[200個(gè)4]

（3）888…8÷7[200個(gè)8]

（4）111…1÷7[50個(gè)1]