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直接證明 綜合法
直接證明 綜合法數(shù)學(xué)方法之綜合與分析法篇
一、使用綜合法
綜合法是從已知出發(fā)，經(jīng)過逐步推理，最后導(dǎo)出所要達(dá)到的結(jié)論. 可以看出，若使用綜合法求解問題，一定要將條件與結(jié)論結(jié)合起來，看看條件、再看看結(jié)論，如何架好從條件通往結(jié)論的橋梁?
例1：設(shè) ，求證： 證明：由于a，b為非負(fù)實(shí)數(shù)時(shí)， ，得 .
那么 上述第一個(gè)不等式中等號成立的條件為2x-3=15-3x，解得 故原不等式成立.
點(diǎn)評：本題的證明不重要，產(chǎn)生這個(gè)證明方法的思維過程很重要;你知道怎么產(chǎn)生的嗎?是綜合法的“功勞”，請看：欲從左邊證到右邊，必須消去x;如何消?只有經(jīng)過平方，才能將x從根號中“解救”出來，“解救”出來后才有消去的可能;于是在基本不等式中開始“搜索”與平方有關(guān)的不等式，慢慢的 就“浮出水面”， 解法自然也就誕生了.
二、使用分析法
分析法是從結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件，直到找到一個(gè)明顯成立的條件，這個(gè)條件可以是已知條件、公理、定理、定義等，可以看出，若使用分析求解問題，對結(jié)論的簡化與轉(zhuǎn)化很重要，它是向條件靠攏的重要措施.
例2：設(shè)a，b，c為任意三角形的三邊邊長，I=a+b+c，S=ab+bc+ca，求證：3S≤I 2<4S.
證明：由于I 2 = (a+b+c)2= a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca = a2+b2+c2+2S,
故欲證3S≤I 2<4S，只需3S≤a 2+b2+c2+2S<4S， 只需證S≤a 2+b2+c2<2S，
即ab+bc+ca≤ a 2+b2+c2<2ab+2bc+2ca，
只需證a 2+b2+c2≥ab+bc+ca且a 2+b2+c2<2ab+2bc+2ca，
先看a 2+b2+c2≥ab+bc+ca，只需證2a 2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca，
即 ，顯然，此式成立.
再看a 2+b2+c2<2ab+2bc+2ca， 只需證 ，
只需證 ;
只需證 為三角形的三邊長. 顯然，結(jié)論成立
故3S≤I 2<4S.
點(diǎn)評：本題從表面上看不易“征服”，但通過分析法將結(jié)論逐步轉(zhuǎn)化，由看上去很難“接受”的3S≤I 2<4S，轉(zhuǎn)化為較為熟悉的ab+bc+ca≤ a 2+b2+c2<2ab+2bc+2ca，顯然，這比原題的結(jié)論看上去要“舒服”多了，當(dāng)然，求解也就順暢了很多.
三、綜合與分析法同時(shí)使用
例3：試證：如果一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊。并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等.
已知：如右圖，∠BAC∥∠B′A′C′中，
AB∥A′B′且AC∥A′C′，且兩角的方向相同，
求證：∠BAC=∠B′A′C′.
分析：(1)∠BAC與B ′A′C′不可能用
平行線的性質(zhì)，只有考慮構(gòu)造兩個(gè)全等的三角
形，再設(shè)法證明兩三角形全等，為此，分別在
AC，AB，A′C′，A′B′上截取AE =A′E′，
AD =A′D′，連結(jié)DE，D′E′，得到△ADE，
△A′D′E′;
(2)欲證這兩三角形全等，只需證DE=D′E′;
(3)只需證DEE′D′是平行四邊形，也就是DD′
平行且等于EE′;
(4)只需證“DD′平行且等于AA′且EE′平行且
等于AA′”;
(5)只需證ADD′A′與AEE′A′均為平行四邊形，顯然這是一個(gè)成立的結(jié)論.
證明：由于ADD′A′是平行四邊形，則DD′平行且等于AA′; 同理，得
EE′平行且等于AA′.
于是DD′平行且等于EE′，那么DEE′D′是平行四邊形，得DE=D′E′.
在△ADE與△A′D′E′中，由于AE =A′E′，AD =A′D′且DE =D′E′，因此，△ADE全等于△A′D′E′，從而∠BAC =∠B′A′C′.
點(diǎn)評：分析法找思路較為自然，容易產(chǎn)生解題思路與方法，但由于是“逆行”往往敘述較為復(fù)雜;而綜合法產(chǎn)生的解法往往又顯得很突然，一時(shí)不知此法由何而來. 于是，二者結(jié)合，互相彌補(bǔ)便成了大家提倡的，即“用分析法找思路，用綜合法寫過程”是十分行之有效的方法.
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