數(shù)學(xué)歸納法證明整除

數(shù)學(xué)歸納法證明整除

數(shù)學(xué)歸納法

當(dāng)n=1 的時(shí)候

上面的式子 = 3^4-8-9=64

成立

假設(shè) 當(dāng)n=k 的時(shí)候

3^(2k+2)-8k-9能夠被64整除

當(dāng)n=k+1

式子= 3^(2k+4)-8k-17

=9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64

因?yàn)?3^(2k+2)-8k-9能夠被64整除

∴ 9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64 能夠被64整除

n=k+1 時(shí) ，成立

根據(jù)上面的由數(shù)學(xué)歸納法

3的2n+2次方-8n-9(n屬于N*)能被64整除。

2

當(dāng)n=1時(shí) 3^4-8-9=81-17=64 能被4整除·····(特殊性)

設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，仍然成立。

當(dāng)n=k+1時(shí)，·····················(一般性)

3^(2(k+1)+2)-8(k+1)-9=3^(2K+2+2)-8K-17 =9*3^(2K+2)-72K+64K-81+64=9(3^(2k+2)-8k-9)+64k+64

因?yàn)?^(2k+2)-8k-9能被64整除

不用寫了吧··

正確請(qǐng)采納

數(shù)學(xué)歸納法

當(dāng)n=1 的時(shí)候

上面的式子 = 3^4-8-9=64

成立

假設(shè) 當(dāng)n=k (k>=1)

3^(2k+2)-8k-9能夠被64整除

當(dāng)n=k+1(k>=1)

式子= 3^(2k+4)-8k-17

=9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64

由9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64-(3^(2k+2)-8k-9)可以被64整出

n=k+1 時(shí) ，成立

根據(jù)上面的由數(shù)學(xué)歸納法

3的2n+2次方-8n-9(n屬于N*)能被64整

3.證明:對(duì)于任意自然數(shù)n (3n+1)*7^n-1能被9整除

數(shù)學(xué)歸納法

(1)當(dāng)n=1時(shí) (3*1+1)*7-1=27能被9整除

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí) (3k+1)*7^k-1能被9整除

則當(dāng)n=k+1時(shí) [3(k+1)+1]*7^(k+1)-1=[21k+28]*7^k-1

=(3k+1)*7^k-1+(18k+27)*7^k

=[(3k+1)*7^k-1]+9(2k+3)*7^k

括號(hào)中的代數(shù)式能被9整除 9(2k+3)*7^k能被9整除

所以當(dāng)n=k+1時(shí) [3(k+1)+1]*7^(k+1)-1能被9整除

綜合(1)(2)可知 對(duì)于任意自然數(shù)n 有(3n+1)*7^n-1能被9整除

4證明：

(1)n=1時(shí)，3^(6n)-2^(6n) =3^6-2^6=665=19*35，命題成立

(2)假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即

35能整除3^(6k)-2^(6k)

即3^(6k)-2^(6k)=35m (m∈Z+)

則n=k+1時(shí)

3^(6n)-2^(6n)

=3^(6k+6)-2^(6k+6)

=(3^6)*3^(6k)-(2^6)*2^(6k)

=64*[3^(6k)-2^(6k)]+(729-64)*3^(6k)

=64*[3^(6k)-2^(6k)]+665*3^(6k)

=64*35m+19*35*3^(6k)

=35*[64m+19*3^(6k)]

即n=k+1時(shí)，35能整除3^(6n)-2^(6n)

綜合(1)(2)由數(shù)學(xué)歸納法知：

對(duì)于一切正整數(shù)n，35能整除3^(6n)-2^(6n)

===============

給定任意正整數(shù)n，設(shè)d(n)為n的約數(shù)個(gè)數(shù)，證明d(n)<2√n

證明：

若n存在一個(gè)約數(shù)a<√n

則n/a=b是n的另一個(gè)約數(shù)，且b>√n

顯然a,b是一一對(duì)應(yīng)的

∵a<√n

∴a的個(gè)數(shù)<√n

∴b的個(gè)數(shù)<√n

∴d(n)=a的個(gè)數(shù)+b的個(gè)數(shù)<2√n5假設(shè)n=k時(shí)成立 得3^(6k)-2^(6k)能被35整除

3^(6k+1)-2^(6k+1)-3^(6k)+2^(6k)

=(3^6-1)3^(6k)-(2^6-1)*2^(6k)

=728*3^(6k)-63*2^(6k)

=63*(3^(6k)-2^(6k))+665*3^(6k)

因?yàn)?65/35=19 所以 3^(6k+1)-2^(6k+1)-3^(6k)+2^(6k)可以被35整除

那么由3^(6k+1)-2^(6k+1)-3^(6k)+2^(6k)+3^(6k)-2^(6k)

=3^(6k+1)-2^(6k+1)

可得到

3^(6k+1)-2^(6k+1)

必定可以被35整除

當(dāng)n=1時(shí)3^(6n)-2^(6n)能被35整除

所以 證明完成

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