等比數(shù)列的證明

等比數(shù)列的證明

數(shù)列an前n項和為Sn 已知a1=1 a(n+1)=(n+2)/n乘以Sn(n=1,2,3......) 證明

(1)(Sn/n)是等比數(shù)列

(2) S(n+1)=4an

1、A(n+1)=(n+2)sn/n=S(n+1)-Sn

即nS(n+1)-nSn=(n+2)Sn

nS(n+1)=(n+2)Sn+nSn

nS(n+1)=(2n+2)Sn

S(n+1)/(n+1)=2Sn/n

即S[(n+1)/(n+1)]/[Sn/n]=2

S1/1=A1=1

所以Sn/n是以2為公比1為首項的等比數(shù)列

2、由1有Sn/n是以2為公比1為首項的等比數(shù)列

所以Sn/n的通項公式是Sn/n=1*2^(n-1)

即Sn=n2^(n-1)

那么S(n+1)=(n+1)2^n,S(n-1)=(n-1)2^(n-2)

An=Sn-S(n-1)

=n2^(n-1)-(n-1)2^(n-2)

=n*2*2^(n-2)-(n-1)2^(n-2)

=[2n-(n-1)]*2^(n-2)

=(n+1)2^(n-2)

=(n+1)*2^n/2^2

=(n+1)2^n/4

=S(n+1)/4

所以有S(n+1)=4An

a(n)-a(n-1)=2(n-1)

上n-1個式子相加得到：

an-a1=2+4+6+8+.....2(n-1)

右邊是等差數(shù)列，且和=[2+2(n-1)](n-1)/2=n(n-1)

所以：

an-2=n^2-n

an=n^2-n+2

4、

已知數(shù)列{3*2的N此方}，求證是等比數(shù)列

根據(jù)題意，數(shù)列是3*2^n(^n表示肩膀上的方次),n=1,2,3,...

為了驗證它是等比數(shù)列只需要比較任何一項和它相鄰項的比值是一個不依賴項次的固定比值就可以了.

所以第n項和第n+1項分別是3*2^n和3*2^(n+1),相比之后有:

[3*2^(n+1)]/(3*2^n)=2

因為比值是2,不依賴n的選擇,所以得到結(jié)論.

5

數(shù)列an前n項和為Sn 已知a1=1 a(n+1)=(n+2)/n乘以Sn(n=1,2,3......) 證明

(1)(Sn/n)是等比數(shù)列

(2) S(n+1)=4an

1、A(n+1)=(n+2)sn/n=S(n+1)-Sn

即nS(n+1)-nSn=(n+2)Sn

nS(n+1)=(n+2)Sn+nSn

nS(n+1)=(2n+2)Sn

S(n+1)/(n+1)=2Sn/n

即S[(n+1)/(n+1)]/[Sn/n]=2

S1/1=A1=1

所以Sn/n是以2為公比1為首項的等比數(shù)列

2、由1有Sn/n是以2為公比1為首項的等比數(shù)列

所以Sn/n的通項公式是Sn/n=1*2^(n-1)

即Sn=n2^(n-1)

那么S(n+1)=(n+1)2^n,S(n-1)=(n-1)2^(n-2)

An=Sn-S(n-1)

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