5、跑道：每條跑道的周長(zhǎng)等于兩半圓跑道合成的圓的周長(zhǎng)加上兩條直跑道的和。因?yàn)閮蓷l直跑道長(zhǎng)度相等，所以，起跑線不同，相鄰兩條跑道起跑線也不同，間隔的距離是：2×π×跑道寬度。

注：一個(gè)圓的半徑增加a厘米，周長(zhǎng)就增加2πa厘米

一個(gè)圓的直徑增加b厘米，周長(zhǎng)就增加πb 厘米

6、任意一個(gè)正方形的內(nèi)切圓即最大圓的直徑是正方形的邊長(zhǎng)，它們的面積比是4∶π

7、常用數(shù)據(jù)

   π=3.14   2π=6.28   3π=9.42    4π=12.56   5π=15.7 第五單元、百分?jǐn)?shù) 一、百分?jǐn)?shù)的意義：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾。

注：百分?jǐn)?shù)是專門用來(lái)表示一種特殊的倍比關(guān)系的，表示兩個(gè)數(shù)的比，所以，百分?jǐn)?shù)又叫百分比或百分率，百分?jǐn)?shù)不能帶單位。  

1、百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)的區(qū)別和聯(lián)系：

（1）聯(lián)系：都可以用來(lái)表示兩個(gè)量的倍比關(guān)系。

（2）區(qū)別：意義不同：百分?jǐn)?shù)只表示倍比關(guān)系，不表示具體數(shù)量，所以不能帶單位。分?jǐn)?shù)不僅表示倍比關(guān)系，還能帶單位表示具體數(shù)量。

        百分?jǐn)?shù)的分子可以是小數(shù)，分?jǐn)?shù)的分子只以是整數(shù)。

注：百分?jǐn)?shù)在生活中應(yīng)用廣泛，所涉及問題基本和分?jǐn)?shù)問題相同，分母是100的分?jǐn)?shù)并不是百分?jǐn)?shù)，必須把分母寫成“%”才是百分?jǐn)?shù)，所以“分母是100的分?jǐn)?shù)就是百分?jǐn)?shù)”這句話是錯(cuò)誤的�！�%”的兩個(gè)0要小寫，不要與百分?jǐn)?shù)前面的數(shù)混淆。一般來(lái)講，出勤率、成活率、合格率、正確率能達(dá)到100%，出米率、出油率達(dá)不到100%，完成率、增長(zhǎng)了百分之幾等可以超過100%。一般出粉率在70、80%，出油率在30、40%。

2、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)之間的互化

（1）百分?jǐn)?shù)化小數(shù)：小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位，去掉“%”。

（2）小數(shù)化百分?jǐn)?shù)：小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，添上“%”。

（3）百分?jǐn)?shù)化分?jǐn)?shù)：先把百分?jǐn)?shù)寫成分母是100的分?jǐn)?shù)，然后再化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

（4）分?jǐn)?shù)化百分?jǐn)?shù)：分子除以分母得到小數(shù)，（除不盡的保留三位小數(shù)）然后化成百分?jǐn)?shù)。

（5）小數(shù) 化 分?jǐn)?shù)：把小數(shù)成分母是10、100、1000等的分?jǐn)?shù)再化簡(jiǎn)。

（6）分?jǐn)?shù) 化 小數(shù)：分子除以分母。

二、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題

1、 求常見的百分率 如：達(dá)標(biāo)率、及格率、成活率、發(fā)芽率、出勤率等求百分率就是求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾

2、 求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多（或少）百分之幾，實(shí)際生活中，人們常用增加了百分之幾、減少了百分之幾、節(jié)約了百分之幾等來(lái)表示增加、或減少的幅度。

求甲比乙多百分之幾   （甲-乙）÷乙

求乙比甲少百分之幾   （甲-乙）÷甲

3、 求一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少 一個(gè)數(shù)（單位“1”） ×百分率

4、 已知一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)   部分量÷百分率=一個(gè)數(shù)（單位“1”）

5、 折扣  折扣、打折的意義：幾折就是十分之幾也就是百分之幾十

         

折扣 成數(shù) 幾分之幾 百分之幾 小數(shù) 通用 八折 八成 十分之八 百分之八十 0.8   八五折 八成五 十分之八點(diǎn)五 百分之八十五 0.85   五折 五成 十分之五 百分之五十 0.5 半價(jià) 6、 納稅   繳納的稅款叫做應(yīng)納稅額。 

（應(yīng)納稅額）÷（總收入）=（稅率）

（應(yīng)納稅額）=（總收入）×（稅率）

7、 利率

（1）存入銀行的錢叫做本金。 

（2）取款時(shí)銀行多支付的錢叫做利息。 

（3）利息與本金的比值叫做利率。

利息=本金×利率×?xí)r間

稅后利息=利息-利息的應(yīng)納稅額=利息-利息×5%

注：國(guó)債和教育儲(chǔ)蓄的利息不納稅

8、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題型分類

（1）求甲是乙的百分之幾——（甲÷乙）×100%  = ×100% = 百分之幾

（2）求甲比乙多(少)百分之幾——×100% = ×100%

例

① 甲是50，乙是40，甲是乙的百分之幾？（50是40的百分之幾？）50÷40=125%

② 甲是50，乙是40，乙是甲的百分之幾？（40是50的百分之幾？）40÷50=80%

③ 乙是40，甲是乙的125%，甲數(shù)是多少？（40的125%是多少？）40×125%=50

④ 甲是50，乙是甲的80%，乙數(shù)是多少？（50的80%是多少？）50×80%=40

⑤ 乙是40，乙是甲的80%，甲數(shù)是多少？（一個(gè)數(shù)的80%是40，這個(gè)數(shù)是多少？）40÷80%=50

⑥ 甲是50，甲是乙的125%，乙數(shù)是多少？（一個(gè)數(shù)的125%是50，這個(gè)數(shù)是多少？）50÷125%=40

⑦ 甲是50，乙是40，甲比乙多百分之幾？（50比40多百分之幾？）(50-40)÷40×100%=25%

⑧ 甲是50，乙是40，乙比甲少百分之幾？（40比50少百分之幾？）(50-40)÷50×100%=20%

⑨ 甲比乙多25%，多10，乙是多少？10÷25%=40

⑩ 甲比乙多25%，多10，甲是多少？10÷25%+10=50

11 乙比甲少20%，少10，甲是多少？10÷20%=50

12 乙比甲少20%，少10，乙是多少？10÷20%-10=40

13 乙是40，甲比乙多25%，甲數(shù)是多少？（什么數(shù)比40多25%？）40×（1+25%）=50

14 甲是50，乙比甲少20%，乙數(shù)是多少？（什么數(shù)比50多25%？）50×（1-20%）=40

15 乙是40，比甲少20%，甲數(shù)是多少？（40比什么數(shù)少20%？）40÷（1-20%）=50

16 甲是50，比乙多25%，乙數(shù)是多少？（50比什么數(shù)多25%？）40÷（1+25%）=40

第六單元、統(tǒng)計(jì)

1、 扇形統(tǒng)計(jì)圖的意義：用整個(gè)圓的面積表示總數(shù)，用圓內(nèi)各個(gè)扇形面積表示各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間關(guān)系，也就是各部分?jǐn)?shù)量占總數(shù)的百分比，因此也叫百分比圖。

2、 常用統(tǒng)計(jì)圖的優(yōu)點(diǎn)：

（1）、條形統(tǒng)計(jì)圖直觀顯示每個(gè)數(shù)量的多少。

（2）、折線統(tǒng)計(jì)圖不僅直觀顯示數(shù)量的增減變化，還可清晰看出各個(gè)數(shù)量的多少。

（3）、扇形統(tǒng)計(jì)圖直觀顯示部分和總量的關(guān)系。 第七單元、數(shù)學(xué)廣角 一、研究中國(guó)古代的雞兔同籠問題。

1、 用表格方式解決有局限性，數(shù)目必須小，例：

頭數(shù) 雞（只）兔（只） 腿數(shù)

35    1      34

35    2      33

35    3      32

……

（逐一列表法、腿數(shù)少，小幅度跳躍；腿數(shù)多，大幅度跳躍。跳躍逐一相結(jié)合、取中列表）

2、 用假設(shè)法解決

（1） 假如都是兔

（2） 假如都是雞

（3） 假如它們各抬起一條腿

（4） 假如兔子抬起兩條前腿

3、 用代數(shù)方法解（一般規(guī)律）

注釋：這個(gè)問題，是我國(guó)古代著名趣題之一。大約在1500年前，《孫子算經(jīng)》中就記載了這個(gè)有趣的問題。書中是這樣敘述的：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭；從下面數(shù)，有94只腳。求籠中各有幾只雞和兔？ 

二、和尚分饅頭

100個(gè)和尚吃100個(gè)饅頭，大和尚一人吃3個(gè)，小和尚三人吃一個(gè)。大小和尚各多少人？

國(guó)明代珠算家程大位的名著《直指算法統(tǒng)宗》里有一道著名算題： 

  一百饅頭一百僧，

  大僧三個(gè)更無(wú)爭(zhēng)，

  小僧三人分一個(gè)，

  大小和尚各幾��？"

如果譯成白話文，其意思是：有100個(gè)和尚分100只饅頭，正好分完。如果大和尚一人分3只，小和尚3人分一只，試問大、小和尚各有幾人？

方法一，用方程解：

解：設(shè)大和尚有x人，則小和尚有(100－x)人，根據(jù)題意列得方程：

  3x + (100－x)=100

                x＝25

100－25＝75人

方法二，雞兔同籠法：

(1)假設(shè)100人全是大和尚，應(yīng)吃饅頭多少個(gè)？

   3×100=300(個(gè))．

(2)這樣多吃了幾個(gè)呢？

  300－100=200(個(gè))．

(3)為什么多吃了200個(gè)呢？這是因?yàn)榘研『蜕挟?dāng)成大和尚。那么把小和尚當(dāng)成大和尚時(shí)，每個(gè)小和尚多算了幾個(gè)饅頭？

  3－=（個(gè)）

(4)每個(gè)小和尚多算了8/3個(gè)饅頭，一共多算了200個(gè)，所以小和尚有：

  小和尚：200÷＝75（人）

  大和尚：100－75＝25（人）

方法三，分組法：

由于大和尚一人分3只饅頭，小和尚3人分一只饅頭。我們可以把3個(gè)小和尚與1個(gè)大和尚編為一組，這樣每組4個(gè)和尚剛好分4個(gè)饅頭，那么100個(gè)和尚總共分為100÷（3+1）=25組，因?yàn)槊拷M有1個(gè)大和尚，所以有25個(gè)大和尚；又因?yàn)槊拷M有3個(gè)小和尚，所以有25×3＝75個(gè)小和尚。

  這是《直指算法統(tǒng)宗》里的解法，原話是："置僧一百為實(shí)，以三一并得四為法除之，得大僧二十五個(gè)。"所謂"實(shí)"便是"被除數(shù)"，"法"便是"除數(shù)"。列式就是：

        100÷（3+1）=25（組）

大和尚：25×1=25（人）

小和尚：100-25=75（人）或25×3=75（人）

我國(guó)古代勞動(dòng)人民的智慧由此可見一斑。

三、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題結(jié)構(gòu)類型

（一）求甲是乙的幾倍（或幾分之幾或百分之幾）的應(yīng)用題。

解法：甲數(shù)除以乙數(shù)

例：校園里有楊樹40棵，柳樹有50棵，楊樹的棵樹占柳樹的百分之幾？（或幾分之幾？）

（二）求甲數(shù)的幾倍（或幾分之幾或百分之幾）是多少的應(yīng)用題。

解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，首先要確定單位“1”，在單位“1”確定以后，一個(gè)具體數(shù)量總與一個(gè)具體分?jǐn)?shù)（分率）相對(duì)應(yīng)，這種關(guān)系叫“量率對(duì)應(yīng)”，這是解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵。

求一個(gè)數(shù)的幾倍（幾分之幾或百分之幾）是多少用乘法，單位“1”×分率=對(duì)應(yīng)數(shù)量

例：六年級(jí)有學(xué)生180人，五年級(jí)的學(xué)生人數(shù)是六年級(jí)人數(shù)的6(5)。五年級(jí)有學(xué)生多少人？

180×6(5)=150

（三）已知甲數(shù)的幾倍（或幾分之幾或百分之幾）是多少，求甲數(shù)（即求標(biāo)準(zhǔn)量或單位“1”）的應(yīng)用題。

解法：對(duì)應(yīng)數(shù)量÷對(duì)應(yīng)分率=單位“1”

例：育紅小學(xué)六年級(jí)男生有120人，占參加興趣活動(dòng)小組人數(shù)的5(3). 六年級(jí)參加興趣活動(dòng)小組人數(shù)共有學(xué)生多少人？

120÷5(3)=200（人）

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