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人教版高二數(shù)學(xué)異面直線所成角及距離
一. 教學(xué)內(nèi)容：
異面直線所成角及距離
二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)：
1. 異面直線所成角定義。
異面直線 、 ，過(guò)空間一點(diǎn)O作 、 ，直線 ， 所成的銳角（或直角）叫做異面直線 和 所成的角。
2. 異面直線所成角的計(jì)算。
（1）平移其中一條或兩條使其相交。
�。�2）連接端點(diǎn)，使角在一個(gè)三角形中。
�。�3）計(jì)算三條邊長(zhǎng)，用余弦定理計(jì)算余弦值。
�。�4）若余弦值為負(fù)，則取其相反數(shù)。
3. 公垂線。
與兩條異面直線均垂直、相交的直線叫兩條異面直線的公垂線，兩條異面直線的公垂線有且只有一條。
4. 兩條直線垂直。
�。�1）相交垂直 （2）異面垂直
5.
6. 兩條異面直線的公垂線段的長(zhǎng)度，叫兩條異面直線的距離。
【典型例題】
異面直線所成的角與距離：
[例1] 正方體 棱長(zhǎng)為 ，對(duì)角線 長(zhǎng)為 。
�、� 異面直線 與 所成的角。
�、� 異面直線 與 的距離。
�、� 異面直線 與 所成的角。
④ 異面直線 與 所成的角。
�、� M、N為 、 中點(diǎn)，MN與AC所成角。
�、� H為BC中點(diǎn)， 與 所成角。
解：
�、倥c 所成銳角即為兩條異面直線所成的角 。
�、� AB為兩條異面直線的公垂線距離為
�、� 為等邊三角形成角為
�、� 延長(zhǎng)DC至E使CE=CD
中， ， ， 中，DE= ，AD=
AE ，由余弦定理
�、� MN//BD所成角為
�、� F為AD中點(diǎn)， ， 中， ，
，
所成角為
[例2] 四面體ABCD，棱長(zhǎng)均為 （正四面體）
�、� 求異面直線AD、BC的距離。
�、� 求AC、BD所成的角。
�、� E、F為BC、AD中點(diǎn)，求AE、CF所成角。
解：
�、� E、F為BC、AD中點(diǎn)，連AE、DE、BF、CF
中， F為等腰 底邊中點(diǎn)EFAD
同上EFBCE、F為AD、BC公垂線
② H為CD中點(diǎn)
EH//BD EH= FH//AC 為兩條異面直線AC、BD所成角
�、� K為DE中點(diǎn)，連FK，F(xiàn)K//AE CF與FK所夾銳角為異面直線AE、CF所成角
[例3] 正方體 中，E、F為AB、 中點(diǎn)，求 、 所成的角。
證：H在 上， M為 中點(diǎn)
HF與 所成角等于異面直線 、 所成的角
設(shè)棱長(zhǎng)為
中，、 所成角為
[例4] P為 所在平面外一點(diǎn)，E為PA中點(diǎn)，且 ， ， ， （ ）。求異面直線BE、PC的距離。
解：F為PC中點(diǎn)連EF
EF為PC、BE公垂線
BE、PC距離為
【模擬試題】（答題時(shí)間：60分鐘）
1. ， 、 與 、 均垂直，則 、 的關(guān)系為（ ）
A. 平行 B. 相交 C. 異面 D. 以上均可能
2. 已知異面直線 、 成 角，P為空間一點(diǎn)，則過(guò)P且與 、 所成角均為 的直線有（ ）
A. 2條 B. 3條 C. 4條 D. 無(wú)數(shù)條
3. 空間直線 滿足（1）與 異面；（2）與 成 角；（3）與 距離為10cm；則這樣的 有（ ）
A. 1條 B. 2條 C. 4條 D. 無(wú)數(shù)條
4. 、 為異面直線， 為 、 的公垂線， ， 與 、 的關(guān)系為（ ）
A. 均不相交 B. 與其中一條相交
C. 至少與一條相交 D. 至多與其中一條相交
5. 空間四邊形ABCD棱長(zhǎng)為 ，對(duì)角線也為 ，E為AD中點(diǎn)，AB與CE所成角為（ ）
A. B. C. D.
【試題答案】
1. D 2. B 3. D 4. D 5. C
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