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高等數(shù)學與小學數(shù)學的相天性
一般人認為小學數(shù)學與高等數(shù)學相差甚遠，事實上它們之間不僅在內(nèi)容方面，而且在思維形式方面都存在 著密切的聯(lián)系。如果站在高等數(shù)學的高度來理解小學數(shù)學，會使人感到小學數(shù)學的博大和精深；如果能把小學 數(shù)學的內(nèi)容放在高等數(shù)學這一背景中理解，從某種意義上講小學數(shù)學是高等數(shù)學的重要組成部分。如果小學數(shù) 學教師都能站在高等數(shù)學的高度來進行小學數(shù)學教學，那將會對小學生學習和理解數(shù)學概念起到非常積極的意 義。本文將從內(nèi)容和思維形式兩個方面來揭示小學數(shù)學和高等數(shù)學之間的聯(lián)系。
一、內(nèi)容的互補性
高等數(shù)學中的一些概念是小學數(shù)學中一些量的抽象，而小學數(shù)學的內(nèi)容則是高等數(shù)學中抽象概念的實例。 如果站在抽象后的高度對小學數(shù)學的內(nèi)容進行解釋，那么小學數(shù)學的內(nèi)容將是有序的、完整的。例如：加、減 、乘、除是小學數(shù)學主要的教學內(nèi)容之一，在高等數(shù)學中則是映射（代數(shù)運算）的幾個特例而已。如果沒有小 學數(shù)學這些實例，那么就不可能理解、抽象出一般的代數(shù)運算的概念；如果在掌握了一般的代數(shù)運算的概念的 基礎(chǔ)上講解加、減、乘、除，就會把這些概念講活講完整。一般來講，高等數(shù)學和小學數(shù)學在內(nèi)容上是從以下 四個方面進行互補的。
１．個別和一般
小學數(shù)學中有平均數(shù)的計算，平均數(shù)在高等數(shù)學中就是數(shù)學期望值的特例。如果站在數(shù)學期望的高度來講 解平均數(shù)，教師就會著重強調(diào)平均數(shù)和各個數(shù)之間差異，學生就會知道全班數(shù)學平均分數(shù)和每個學生的分數(shù)， 雖然都是分數(shù)，但是它們的意義是完全不同的。反之，如果學生只會計算平均分數(shù)，而沒有把平均分數(shù)和每個 學生的分數(shù)加以區(qū)別，那么學生只是多做了一些四則運算的習題。這樣不僅不能活躍學生的思維，而且也不利 于提高學生的學習興趣。再如小學數(shù)學中求自然數(shù)的正約數(shù)的個數(shù)問題，則是高等數(shù)學中代數(shù)基本定理的應用 ，并且求解任一正整數(shù)約數(shù)個數(shù)的計算公式，在高等數(shù)學中也有論證。
２．有限和無限
在小學數(shù)學中，一般是在有限的范圍內(nèi)討論問題，有些問題則需要利用高等數(shù)學的觀點進行解釋。如小學 數(shù)學中數(shù)的認識，內(nèi)容雖然簡單，但是其中數(shù)“數(shù)”及用“對等”的方法比較兩個集合之間元素個數(shù)關(guān)系問題 必須讓學生理解。這是因為數(shù)“數(shù)”的方法是高等數(shù)學中研究可列集、不可列集的基本方法；而“對等”的方 法則是比較兩個集合（有限集、無限集）之間元素個數(shù)問題的基本方法。又如，小學數(shù)學中對于“自然數(shù)是無 限的”這一結(jié)論，只有用極限的觀點來進行解釋，學生才能正確地理解這一結(jié)論。相反，如果教師沒有扎實的 高等數(shù)學根底，而是采用一些不正確的方法進行解釋，不僅不能幫助學生準確地理解“自然數(shù)是無限的”這一 結(jié)論，而且會影響學生今后對極限概念的理解。再如，在小學數(shù)學中無限循環(huán)小數(shù)和分數(shù)之間的互化問題，這 一問題是高等數(shù)學中級數(shù)概念的應用，教師在教學中通過“０．９”、“０．９９…９”和“１”之間關(guān)系的 解釋，就會讓學生再一次體會極限的概念。
３．靜止和運動
小學數(shù)學中的很多概念如果只強調(diào)結(jié)果，則是靜止的。如２＋３這一表達式，只討論其和為多少是靜止的 。如果分析這個表達形式，則是運動的。這是因為：若２＝３－１，３＝１＋２，……那么這個表達式變?yōu)椋?３－１＋１＋２，……；若２、３分別表示２號房間和３號房間里人數(shù)之和，那么這個表達式的意義又不同了 。通過這一次次的變化，學生對于數(shù)學概念的理解更趨完整，這一次次的變化正是代數(shù)思想的雛型。而代數(shù)思 想是研究數(shù)學的最根本的思想之一。
４．推算和預測
小學數(shù)學中有一類問題是已知現(xiàn)在的值，求原來的值。例如：現(xiàn)對甲、乙、丙三個車間的人員進行三次調(diào) 整。第一次丙車間不動，甲、乙兩個車間中的一個車間調(diào)出８人給另一車間；第二次乙車間不動，甲、丙兩車 間中的一個車間調(diào)出８人給另一車間；第三
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