壽險(xiǎn)中的破產(chǎn)理論及應(yīng)用

　　在我國保險(xiǎn)公司的運(yùn)作中，保費(fèi)收入是主要收入來源，理陪是主要風(fēng)險(xiǎn)因素，為了保障保險(xiǎn)公司的正常運(yùn)作，保險(xiǎn)公司必須充分考慮所面臨的風(fēng)險(xiǎn)，而破產(chǎn)理論的研究主要針對(duì)保險(xiǎn)公司如何估計(jì)所面臨的風(fēng)險(xiǎn)，它主要研究在較長(zhǎng)時(shí)間上保險(xiǎn)公司發(fā)生盈余或破產(chǎn)的概率，以前我們所研究的破產(chǎn)理論主要是針對(duì)非壽險(xiǎn)進(jìn)行研究，并且主要考慮在理賠次數(shù)N(t)為泊松過程，理賠額S(t)為復(fù)合泊松過程情況下的盈余過程，在非壽險(xiǎn)研究中得到一個(gè)Lundberg不等式，這個(gè)破產(chǎn)概率上界為保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)分析提供了有力工具。

　　本文利用（文獻(xiàn)[1]）風(fēng)險(xiǎn)理論，考慮在壽險(xiǎn)中破產(chǎn)理論的研究，得到壽險(xiǎn)破產(chǎn)模型，設(shè)計(jì)了求解壽險(xiǎn)中的破產(chǎn)概率的一種算法，并得到壽險(xiǎn)破產(chǎn)概率的一個(gè)上界。

　　  二、單一年齡結(jié)構(gòu)下的破產(chǎn)模型

　　設(shè)壽險(xiǎn)中，剛投保時(shí)（t=0時(shí)刻），年齡均為x的被保險(xiǎn)人有n[,1]個(gè)，每個(gè)被保險(xiǎn)人的死亡概率遵循相同的生命表，初始準(zhǔn)備金為u[,1]，并且設(shè)

　　n[,k]：第k年年初時(shí)的被保險(xiǎn)人數(shù)

　　c：被保險(xiǎn)人每年所交的保險(xiǎn)費(fèi)

　　d[,k]：第k年內(nèi)(k,k+1)被保險(xiǎn)人死亡的人數(shù)  (1)

　　q[,x]；被保險(xiǎn)人在(x,x+1)死亡的人數(shù)的概率

　　b：每個(gè)被保險(xiǎn)人死亡時(shí)，保險(xiǎn)人要支付的保險(xiǎn)金

　　由此假定我們知：

　　t=0時(shí)刻被保險(xiǎn)人的總數(shù)n[,1],n[,k]=n[,k+1]+d[,k]。

　　定義1  對(duì)任意t＞0，設(shè)c＞0為單位時(shí)間內(nèi)的保費(fèi)收入率，s(t)為到時(shí)刻t保險(xiǎn)公司支付的理賠總額，u(0)=u為時(shí)刻0時(shí)的初始準(zhǔn)備金，則  

u(t)=u+ct-s(t)　　(2)

　　稱為時(shí)刻t時(shí)的盈余

　　由(2)可見：這里的盈余并沒有考慮除了保費(fèi)和理賠以外的影響盈余的因素，如附加費(fèi)和保單持有人的分紅等，顯然，這種盈余并不是財(cái)務(wù)意義上的盈余，只是為了數(shù)學(xué)上處理方便而已…當(dāng)盈余在某一時(shí)刻為負(fù)時(shí)，我們稱“破產(chǎn)”發(fā)生，既然此處盈余并不是財(cái)務(wù)意義上的盈余，則此時(shí)破產(chǎn)就不等價(jià)于保險(xiǎn)公司真的破產(chǎn)，但破產(chǎn)是衡量保險(xiǎn)公司金融風(fēng)險(xiǎn)的極其重要的尺度。我們僅定義時(shí)間不連續(xù)時(shí)的破產(chǎn)概率

　　定義2  稱Ψ[,t](u,n)=Pr｛u(t)＜0/｛u(τ)≥0，對(duì)某τ,τ=1,2,…t-1｝，為給定u,n時(shí)，第t年首次出現(xiàn)破產(chǎn)的概率。

　　設(shè)u[,k]表示第k年年初的準(zhǔn)備金，且此時(shí)尚未收取第k年的保險(xiǎn)費(fèi)，v[,k]表示第k年年末的準(zhǔn)備金，且此時(shí)尚未支付第k年年末的保險(xiǎn)金，i是常數(shù)利率，則  

v[,k]=(u[,k]+n[,k]c)(1+i)　u[,k+1]=v[,k]-bd[,k]

　　定理1  壽險(xiǎn)中，設(shè)初始準(zhǔn)備金為u[,1],t=0時(shí)刻被保險(xiǎn)人的總數(shù)n[,1]，且，c,q[,x],b滿足(1)的假設(shè)條件，則保險(xiǎn)人在第t年末的破產(chǎn)概率

　　附圖

　　證明：被保險(xiǎn)人在第一年末，可能發(fā)生死亡也可能不發(fā)生死亡，當(dāng)死亡時(shí)，保險(xiǎn)人由于支付保險(xiǎn)金，可能導(dǎo)致破產(chǎn)發(fā)生，也可能不發(fā)生破產(chǎn)，我們考慮臨界狀態(tài)：即第1年年初所收保費(fèi)與初始準(zhǔn)備金之和等于第一年年末支付的保險(xiǎn)金。bd[,1]=(u[,1]+n[,1]c)(1+i)，即

　　附圖

　　對(duì)給定的n[,1]，在第1年內(nèi)死亡人數(shù)的概率分布服從參數(shù)為(n[,1],q[,x])的二項(xiàng)分布，由此我們推得：

　　附圖

　　注：定理1給出求解破產(chǎn)概率的公式，實(shí)際上我們可以利用迭代法求解保險(xiǎn)期內(nèi)任意年的破產(chǎn)概率。

　　實(shí)際上，壽險(xiǎn)保險(xiǎn)人數(shù)相當(dāng)大，而且被保險(xiǎn)人死亡的概率非常小，存活過保險(xiǎn)期的人數(shù)也相當(dāng)大。我們知道二項(xiàng)分布中當(dāng)n[,1]充分大，q[,x]充分小時(shí)，由概率論中泊松定理知，泊松分布可更好逼近二項(xiàng)分布，記λ[,1]=n[,1]q[,x]，由泊松定理及定理1可得：

　　推論1  壽險(xiǎn)中，設(shè)初始準(zhǔn)備金為u[,1],t=0時(shí)刻被保險(xiǎn)人的總數(shù)n[,1]，且c,d[,k],q[,x],b滿足(1)的假設(shè)條件，則保險(xiǎn)人在第t年末的破產(chǎn)概率

　　附圖

　　  三、不同年齡結(jié)構(gòu)下的破產(chǎn)模型

　　為便于研究，對(duì)壽險(xiǎn)中的被保險(xiǎn)人進(jìn)行分組，不妨設(shè)，剛投保時(shí)（t=0時(shí)刻），年齡為x(j)的被保險(xiǎn)人有n[,1]

[1] [2] 

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