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對數(shù)學本質特征的若干認識
什么是數(shù)學？這是任何一個數(shù)學教育工作者都應認真思考的問題。只有對數(shù)學的本質特征有比較清晰的認識，才能在數(shù)學教育研究中把握正確的方向.1 數(shù)學，其英文是mathematics，這是一個復數(shù)名詞，“數(shù)學曾經(jīng)是四門學科：算術、幾何、天文學和音樂，處于一種比語法、修辭和辯證法這三門學科更高的地位。”自古以來，多數(shù)人把數(shù)學看成是一種知識體系，是經(jīng)過嚴密的邏輯推理而形成的系統(tǒng)化的理論知識總和，它既反映了人們對“現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系”的認識，又反映了人們對“可能的量的關系和形式”的認識。數(shù)學既可以來自現(xiàn)實世界的直接抽象，也可以來自人類思維的能動創(chuàng)造。
2從人類社會的發(fā)展史看，人們對數(shù)學本質特征的認識在不斷變化和深化�！皵�(shù)學的根源在于普通的常識，最顯著的例子是非負整數(shù)。"歐幾里德的算術來源于普通常識中的非負整數(shù)，而且直到19世紀中葉，對于數(shù)的科學探索還停留在普通的常識，”另一個例子是幾何中的相似性，“在個體發(fā)展中幾何學甚至先于算術”，其“最早的征兆之一是相似性的知識，”相似性知識被發(fā)現(xiàn)得如此之早，“就象是大生的。”因此，19世紀以前，人們普遍認為數(shù)學是一門自然科學、經(jīng)驗科學，因為那時的數(shù)學與現(xiàn)實之間的聯(lián)系非常密切，隨著數(shù)學研究的不斷深入，從19世紀中葉以后，數(shù)學是一門演繹科學的觀點逐漸占據(jù)主導地位，這種觀點在布爾巴基學派的研究中得到發(fā)展，他們認為數(shù)學是研究結構的科學，一切數(shù)學都建立在代數(shù)結構、序結構和拓撲結構這三種母結構之上。與這種觀點相對應，從古希臘的柏拉圖開始，許多人認為數(shù)學是研究模式的學問，數(shù)學家懷特海（a. n. whiiehead，186----1947）在《數(shù)學與善》中說，“數(shù)學的本質特征就是：在從模式化的個體作抽象的過程中對模式進行研究，”數(shù)學對于理解模式和分析模式之間的關系，是最強有力的技術�！�1931年，歌德爾（k，g0de1，1978）不完全性定理的證明，宣告了公理化邏輯演繹系統(tǒng)中存在的缺憾，這樣，人們又想到了數(shù)學是經(jīng)驗科學的觀點，著名數(shù)學家馮·諾伊曼就認為，數(shù)學兼有演繹科學和經(jīng)驗科學兩種特性。
3對于上述關于數(shù)學本質特征的看法，我們應當以歷史的眼光來分析，實際上，對數(shù)本質特征的認識是隨數(shù)學的發(fā)展而發(fā)展的。由于數(shù)學源于分配物品、計算時間、丈量土地和容積等實踐，因而這時的數(shù)學對象（作為抽象思維的產物）與客觀實在是非常接近的，人們能夠很容易地找到數(shù)學概念的現(xiàn)實原型，這樣，人們自然地認為數(shù)學是一種經(jīng)驗科學；隨著數(shù)學研究的深入，非歐幾何、抽象代數(shù)和集合論等的產生，特別是現(xiàn)代數(shù)學向抽象、多元、高維發(fā)展，人們的注意力集中在這些抽象對象上，數(shù)學與現(xiàn)實之間的距離越來越遠，而且數(shù)學證明（作為一種演繹推理）在數(shù)學研究中占據(jù)了重要地位，因此，出現(xiàn)了認為數(shù)學是人類思維的自由創(chuàng)造物，是研究量的關系的科學，是研究抽象結構的理論，是關于模式的學問，等等觀點。這些認識，既反映了人們對數(shù)學理解的深化，也是人們從不同側面對數(shù)學進行認識的結果。正如有人所說的，“恩格斯的關于數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的數(shù)量關系和空間形式的提法與布爾巴基的結構觀點是不矛盾的，前者反映了數(shù)學的來源，后者反映了現(xiàn)代數(shù)學的水平，現(xiàn)代數(shù)學是一座由一系列抽象結構建成的大廈�！倍P于數(shù)學是研究模式的學問的說法，則是從數(shù)學的抽象過程和抽象水平的角度對數(shù)學本質特征的闡釋，另外，從思想根源上來看，人們之所以把數(shù)學看成是演繹科學、研究結構的科學，是基于人類對數(shù)學推理的必然性、準確性的那種與生俱來的信念，是對人類自身理性的能力、根源和力量的信心的集中體現(xiàn)，因此人們認為，發(fā)展數(shù)學理論的這套方法，即從不證自明的公理出發(fā)進行演繹推理，是絕對可靠的，也即如果公理是真的，那么由它演繹出來的結論也一定是真的，通過應用這些看起來清晰、正確、完美的邏輯，數(shù)學家們得出的結論顯然是毋庸置疑的、無可辯駁的。
4事實上，上述對數(shù)學本質特征的認識是從數(shù)學的來源、存在方式、抽象水平等方面進行的，并且主要是從數(shù)學研究的結果來
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