為什么茶杯蓋不會掉到茶杯里去？

 一次幾何復(fù)習(xí)課上，我提了一個簡單的問題：“為什么茶杯蓋不會掉到茶杯里去？” 一個學(xué)生迫不及待地搶先回答：“這個問題太簡單了，蓋子比口大，當(dāng)然掉不進去了�！�

我說：“確實，蓋子比口小，它一定會掉進去，不過，比口大，是不是就一定掉不進去呢？請看，我這兒有一個鐵制的、盒口是橢圓形的茶葉盒，但是一不小蓋子就掉進去了。（讓橢圓形蓋子的長軸垂直于盒口面，且使盒蓋沿盒口長軸，就能掉進去）再看我這兒還有個木制的盒口是正方形的茶葉盒，它也能掉進去（蓋子豎起來，沿盒口對角線放，這說明了什么？

一學(xué)生答：“說明剛才那位同學(xué)說的不完全正確的，蓋子比口大并不是掉不進去的可靠依據(jù)。”

我說：“回答的很好！蓋子比口大，只民必要條件，并不具有充分性。究竟掉不掉得進去，還得看形狀。作一點具體分析，大家能舉出生活中的物體，它的蓋子無論怎樣都掉不進去嗎？”

學(xué)生略作思考，答：“圓形的茶杯，圓形炊壺，圓形壇子�！�

我說：“正確，通常蓋子和口的形狀一樣，只要圓形的蓋子比杯口大一點就掉不進去。請看這個茶杯（演示），除了圓形處，還有其它的形狀嗎？“

課堂立刻熱鬧起來，學(xué)生議論紛紛，有的拿圓規(guī)、直尺急于作圖；有的冥思苦想，回憶所學(xué)的各種圖形尋找方案。突然有個學(xué)生站起來說：“杯口是三角形的杯子�！痹捯魟偮�，又一位同學(xué)站起來反駁道：“三角形不行，假如一邊較長，另一邊較短，讓蓋子的短邊沿杯口較長邊放，就會掉進去�！�

我說：“有道理，能不能將上述圖形修改一下呢？”

又有一個學(xué)生說：“正三角形“許多學(xué)生都覺得似乎正確，投去了贊同的目光。

我說：“仔細想一想，正三角形行嗎？”

一位學(xué)生經(jīng)過畫圖后，想想說：“不行，正三角形邊較高長，高比較短，可以把蓋子豎起來，讓一條邊垂直于杯口沿著杯口的一條邊往下放，也放得進去�！�

我說：“對！這需要多角度的空間想象，正三角形不行。”

因為剛才舉例說明了正方形不行，接著有的同學(xué)提出了五邊形，正六邊形，一番爭論，又被其他同學(xué)否定了。因為，正五邊形的對角線比它的高要長，正六邊形有一條對角線比兩條平行之間的距離要長，沿對角線放入，也會掉進去。

幾經(jīng)討論，我說：“可以證明任意正多邊形的蓋子（蓋子很薄），要是它比口大‘一點’，就有可能掉進去，只不過對于正三角形、正方形來說，這‘一點’可稍大一些；對于邊數(shù)很多的正多邊形來說，這‘一點’必須很小，請問大家：這個圖形必須有何特征？”

經(jīng)過全班集體的努力與探索，推選一名學(xué)生回答我的問題：用兩條平行線從任意的方向去夾它，平行線間的距離都相等。

我興奮地說道：“對了！了不起，團結(jié)起來力量大，滿足上述特征的圖形在幾何學(xué)上叫等寬（常寬）圖形。我們不要急于下結(jié)論說常圖形只有圓。大家請看：正三角拱形（在黑板上作圖），是以正三角形的三個頂點為圓心，以它的邊長為半徑，畫三段圓弧得到的。你們能證明三角拱形日等寬圖形嗎？”

[1] [2]