莫讓教材分析流于形式

最近，我們五年級(jí)數(shù)學(xué)組反復(fù)試上蘇教版下冊(cè)《圓的面積》一課，發(fā)現(xiàn)不同的執(zhí)教者對(duì)教材處理各不相同，幾處教材細(xì)節(jié)容易忽視，現(xiàn)羅列出來(lái)供同行們參考。

一、教材未提及，您注意到了嗎

因教材未提及而不補(bǔ)充，就缺少了對(duì)圓面積的逐步感悟。有兩位教師采用開(kāi)門(mén)見(jiàn)山式，“今天，我們一起來(lái)學(xué)習(xí)圓的面積”，然后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究。這樣教學(xué)就缺少了對(duì)圓面積概念的感悟，究其原因，因?yàn)榻滩臎](méi)有提及，教材安排是直接進(jìn)入探究環(huán)節(jié)，采用數(shù)方格的方法，“數(shù)”出圓的面積大約是多少。建議教學(xué)需要補(bǔ)充這一環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生形成圓面積的概念，然后再探究圓面積的大小，有利于學(xué)生在大腦中留下完整的探究過(guò)程�？刹捎萌缦陆虒W(xué)環(huán)節(jié)——

師：什么叫圓的面積呢？

師（出示一個(gè)圓片）：哪位同學(xué)愿意上來(lái)指一指圓的面積是哪一部分？請(qǐng)同學(xué)們用手摸一摸自己帶來(lái)的圓片。誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)什么叫圓的面積？

（課件動(dòng)態(tài)演示，給大小不同的圓逐漸地、慢慢地涂上顏色，涂色部分就是圓的面積）

師：和你想得一樣嗎？能說(shuō)說(shuō)什么叫圓的面積嗎？

生：圓內(nèi)里面的部分就是圓的面積。

生：圓中的大小叫圓的面積。

生：圓所占平面的大小叫做圓的面積。

學(xué)生通過(guò)紙片摸一摸，相互說(shuō)一說(shuō)，再觀(guān)察動(dòng)畫(huà)演示，逐步建構(gòu)圓面積的概念，明確研究的對(duì)象，層層深入，螺旋上升。

二、教材未安排，您關(guān)注到了嗎

因研究無(wú)順序而不梳理，就缺少了對(duì)圓面積的整體建構(gòu)。在試教的過(guò)程中，部分教師帶領(lǐng)學(xué)生研究了圓的面積與它內(nèi)接正方形面積的關(guān)系，圓的面積與它外切正方形的面積的關(guān)系，但學(xué)生聽(tīng)得“云里霧里”，不知道教師壺中賣(mài)的什么藥？如何讓學(xué)生參與性更強(qiáng)，清楚所做的每一件事的意義，幫助學(xué)生從整體上建構(gòu)圓的面積與兩個(gè)正方形的關(guān)系�？刹捎靡韵陆虒W(xué)環(huán)節(jié)——

電腦先呈現(xiàn)中間一個(gè)圓，再分別在這個(gè)圓的外面與內(nèi)面畫(huà)一個(gè)最大的正方形，如圖1：

圖1

師：觀(guān)察這三幅圖，你們能發(fā)現(xiàn)圓的面積與正方形面積有什么關(guān)系嗎？

生：圓的面積比外面正方形的面積小一些，比內(nèi)面正方形的面積大一些。

師：我們就分別來(lái)研究這兩種情況，觀(guān)察圖2，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

圖2

生：正方形與圓的上下左右都靠起來(lái)了。

生：這個(gè)圓是正方形內(nèi)最大的一個(gè)圓。

生：圓的面積比正方形的面積小。

生：圓的直徑等于正方形的邊長(zhǎng)。

生：圓的半徑是r，直徑就是2r。

生：小正方形面積用r2表示，大正方形面積用4r2表示。

生：圓的面積比正方形面積4r2小一些。

師：觀(guān)察圖3，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

圖3

生：這個(gè)正方形是圓內(nèi)最大的一個(gè)正方形。

師：圓的面積與正方形面積有什么關(guān)系？

生：圓的面積比正方形的面積大。

生：圓的半徑是r，直徑就是2r。

生：每個(gè)小直角三角形的面積是 1/2r2，正方形面積是2r2。

生：圓的面積比正方形面積2r2大一些。

師：從這兩幅圖中，你們又能得到什么？

生：圓的面積比2r2大一些，又比4r2小一些，在3r2左右。

“只要數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程稍能反映出數(shù)學(xué)的發(fā)明過(guò)程的話(huà)，那么就應(yīng)該讓合理的猜想占有適當(dāng)?shù)奈恢�。”（波利亞）通過(guò)對(duì)圓外切正方形和內(nèi)接正方形的觀(guān)察與思考，讓學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)，誘導(dǎo)想象，激活已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生推算得到“外切正方形面積是4r2”，“內(nèi)接正方形面積是2r2”，把圓的面積確定在3r2左右，運(yùn)用邏輯推導(dǎo)的方法，估計(jì)圓的面積大約范圍，滲透了“猜想+證明”的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的科學(xué)思維。

三、教材未說(shuō)明，您考慮到了嗎

因認(rèn)知是空白而不說(shuō)明，就缺少了對(duì)數(shù)方格的真正理解。用數(shù)方格的方法求圓的面積是本節(jié)課的一大亮點(diǎn)，但在課堂實(shí)踐時(shí)，學(xué)生會(huì)遇到很大困難。學(xué)生原有認(rèn)知中，數(shù)方格求面積的辦法是先數(shù)整格，然后數(shù)不是整格的，都按半格計(jì)算。這個(gè)方法在數(shù)第一幅圖時(shí)就會(huì)有矛盾，其中整格數(shù)是4，剩下4個(gè)半格，加起來(lái)是6，圓的面積只能是半徑平方的2倍，嚴(yán)重不符。而教學(xué)參考書(shū)給出的建議是：不滿(mǎn)一格的，接近一格的都按一格計(jì)算，這樣數(shù)就是7格，正好是半徑平方的3.1倍，符合實(shí)際情況。有兩位教師執(zhí)教時(shí)，忽略了這個(gè)細(xì)節(jié)，學(xué)生得到的3倍多一些，僅僅是人為的虛假數(shù)據(jù)�？刹捎靡韵陆虒W(xué)環(huán)節(jié)——

師：同學(xué)們得到了圓的面積是3r2左右，下面我們采用數(shù)方格的方法驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論是否正確，把數(shù)出的數(shù)據(jù)填寫(xiě)在表格中？

師：特別要提醒同學(xué)們注意的是，每個(gè)小整格都是1平方厘米，特別接近整格的也按1平方厘米計(jì)算，其余的都按半格計(jì)算，數(shù)的時(shí)候要特別細(xì)心。

全班分三個(gè)小組分別探究以下三幅圖：

圖4 圖5 圖6

第一小組匯報(bào)：觀(guān)察1號(hào)圖，圓的半徑為3厘米，r2為3×3=9平方厘米，數(shù)一數(shù)1/4 個(gè)圓的面積大約是7平方厘米，整個(gè)圓的面積大約是28平方厘米，用圓的面積除以r2大約是3.1倍。

第二小組和第三小組依次匯報(bào)，完成下表。

學(xué)生經(jīng)歷探索“圓的面積大約是半徑平方的多少倍？”個(gè)個(gè)像小數(shù)學(xué)家一樣，小組合作探究，運(yùn)用數(shù)方格的方法，計(jì)算出半徑的平方是多少平方厘米，然后得到圓面積的 大約是多少平方厘米，再乘以4計(jì)算出圓的面積，得到一個(gè)粗略的結(jié)論，圓的面積大約是半徑平方的3倍多一些。在層層深入探索和大膽猜想的基礎(chǔ)上，利用圖形例證材料進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。另外，在設(shè)計(jì)作業(yè)時(shí)，圖中的比例要一致，否則每一個(gè)單位面積就不一樣了，研究的素材就出現(xiàn)科學(xué)性錯(cuò)誤。

四、教材有交待，您感受到了嗎 　　因思維受挑戰(zhàn)而不引領(lǐng)，就缺少對(duì)圓面積推導(dǎo)的適時(shí)抽象。在圓的面積公式推導(dǎo)時(shí)，幾位執(zhí)教者先引導(dǎo)學(xué)生回憶舊知中平面圖形的面積計(jì)算公式，然后啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想，通過(guò)剪、拼、旋轉(zhuǎn)等方法把新圖形轉(zhuǎn)化成已學(xué)過(guò)的圖形。學(xué)生想到把圓轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過(guò)的圖形，但究竟轉(zhuǎn)化成什么圖形是非常困難的，這里的轉(zhuǎn)化不是形與形的直接轉(zhuǎn)化，而是變成一個(gè)近似的平行四邊形，再通過(guò)無(wú)限細(xì)分想象變成一個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)”的長(zhǎng)方形，學(xué)生思維是存在障礙的。在教學(xué)過(guò)程中有的教師抽象過(guò)早，直接用電腦動(dòng)畫(huà)從近似的平行四邊形到近似的長(zhǎng)方形，當(dāng)分的份數(shù)越來(lái)越多時(shí)，想象成一個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)”長(zhǎng)方形，這樣的教學(xué)會(huì)導(dǎo)致學(xué)生感悟不足，沒(méi)有真正觀(guān)察感受體驗(yàn)到變化之“巧妙”。有的教師沒(méi)有及時(shí)抽象過(guò)程，學(xué)生動(dòng)手操作剪拼8等份、16等份、32等份之后，直接給出圓的面積公式，學(xué)生感到莫名其妙，它并不是一個(gè)長(zhǎng)方形，怎樣就能利用長(zhǎng)方形的面積公式推導(dǎo)呢？從教材中可以看出，把圓轉(zhuǎn)化成一個(gè)近似的平行四邊形后，通過(guò)省略號(hào)，然后得到一個(gè)虛框的長(zhǎng)方形，這個(gè)變化過(guò)程，應(yīng)該讓學(xué)生經(jīng)過(guò)抽象與概括。可采用以下教學(xué)環(huán)節(jié)——

圖7

師：回憶一下，以前我們常用什么方法來(lái)推導(dǎo)平面圖形的面積計(jì)算公式？

生：通過(guò)剪、拼、旋轉(zhuǎn)等方法把新圖形轉(zhuǎn)化成已學(xué)過(guò)的圖形。

師：圓的面積計(jì)算公式是不是也能這樣獲得呢？

生：我們可以試一下，把圓轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過(guò)的圖形。

師：好！從哪兒下手剪、拼最有可能轉(zhuǎn)化成所學(xué)過(guò)的平面圖形。

（小組討論后匯報(bào)）

生：我們想把圓轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形或平行四邊形，但不知道怎么剪。

生：我們想把圓變成正方形，也感到困難。

生：既然圓的面積和它的半徑有關(guān)，我們想沿著圓的半徑剪開(kāi)。

師：這個(gè)主意真不錯(cuò)！這兒為每個(gè)小組準(zhǔn)備了8等份、l6等份、32等份的圓片，請(qǐng)同學(xué)們想辦法，通過(guò)剪、拼把它轉(zhuǎn)化成已學(xué)過(guò)的平面圖形并貼在黑板上。

展示學(xué)生的作品。

師：從8等份，到16等份，再到32等份（放在一起比較），你們有什么發(fā)現(xiàn)呢？

生：8等份時(shí)還是一個(gè)近似的平行四邊形，然后16等份時(shí)慢慢變成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形，到32等份時(shí)，就更加接近一個(gè)長(zhǎng)方形了。

平面圖形后，什么變了？什么沒(méi)變？

生：形狀變了，面積沒(méi)變。

師：小組討論一下，轉(zhuǎn)化后的圖形的面積怎樣計(jì)算？能利用它來(lái)推導(dǎo)出圓的面積計(jì)算公式嗎？

（分組活動(dòng)，嘗試推導(dǎo)圓面積計(jì)算公式，把推導(dǎo)的過(guò)程寫(xiě)下來(lái)，完成后以小組為單位介紹推導(dǎo)的方法與過(guò)程，并用實(shí)物投影展示）

師：綜上所述，圓面積計(jì)算公式S=лr2，而且2r2 　　波利亞說(shuō)：“在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，猜想是合理的，是值得尊重的，是負(fù)責(zé)任的態(tài)度�！备鶕�(jù)已學(xué)平面圖形的經(jīng)驗(yàn)，把未知的圖形轉(zhuǎn)化成已知的圖形，運(yùn)用已知圖形的面積公式推導(dǎo)出未知圖形的面積公式，這就是一種轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。讓學(xué)生聯(lián)想“圓的面積公式如何推導(dǎo)呢？”是不是也可以轉(zhuǎn)化為已學(xué)過(guò)的平面圖形，這是學(xué)生建立在已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，是一種合理想象。圓的面積公式的探索過(guò)程，形成三個(gè)層次：遷移轉(zhuǎn)化—操作試驗(yàn)—推導(dǎo)結(jié)論，學(xué)生通過(guò)自己實(shí)踐及與同伴合作，多角度想象、思考，不但完成了學(xué)習(xí)任務(wù)，更重要的是對(duì)圓與其他平面圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系有了更深層的理解，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。學(xué)生在問(wèn)題情境中“自己引導(dǎo)思維”，經(jīng)歷“猜測(cè)、假定、確定”的過(guò)程，體驗(yàn)‘冒險(xiǎn)、創(chuàng)造、發(fā)現(xiàn)”的喜悅。

（作者單位：江蘇省寶應(yīng)縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)）

責(zé)編/張曉東

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