線性代數(shù)大綱考點(diǎn)和常考題型

　　在研究生入學(xué)考試中，線性代數(shù)是數(shù)一、數(shù)二、數(shù)三考生研究生考試的公共內(nèi)容，占22%（總分150分），考察2個(gè)選擇題（每題4分，共8分）、1個(gè)填空題（每題4分，共8分）、2個(gè)解答題（總分22分）。線性代數(shù)相對(duì)考研數(shù)學(xué)高數(shù)來(lái)說(shuō)，比較簡(jiǎn)單，要想取得好的成績(jī)，線代爭(zhēng)取不丟分。線性代數(shù)包含行列式、矩陣、向量、線性方程組、特征值和特征向量、二次型等六個(gè)模塊，下面結(jié)合大綱考點(diǎn)，分章節(jié)整理分析�？碱}型，希望對(duì)學(xué)員有所幫助。

　　一、行列式

　　1、考試內(nèi)容

　　（1）行列式的概念和基本性質(zhì)；

　　（2）行列式按行（列）展開定理

　　2、考試要求

　　（1）了解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì)；

　�。�2）會(huì)應(yīng)用行列式的性質(zhì)和行列式按行（列）展開定理計(jì)算行列式。

　　3、�？碱}型

　　（1）行列式基本概念；

　�。�2）低價(jià)行列式的計(jì)算；

　�。�3）高階行列式的計(jì)算；

　　（4）余子式與代數(shù)余子式

　　二、矩陣

　　1、考試內(nèi)容

　�。�1）矩陣的概念；

　　（2）矩陣的線性運(yùn)算；

　�。�3）矩陣的乘法；

　�。�4）方陣的冪；

　�。�5）方陣乘積的行列式；

　�。�6）矩陣的轉(zhuǎn)置；

　�。�7）逆矩陣的概念和性質(zhì)；

　　（8）矩陣可逆的充分必要條件；

　�。�9）伴隨矩陣；

　�。�10）矩陣的初等變換；

　�。�11）初等矩陣；

　　（12）矩陣的秩；

　　（13）矩陣的等價(jià)；

　　（14）分塊矩陣及其運(yùn)算

　　2、考試要求

　　（1）理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對(duì)角矩陣、三角矩陣的定義及性質(zhì)，了解對(duì)稱矩陣、反對(duì)稱矩陣及正交矩陣等的定義和性質(zhì)；

　�。�2）掌握矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置以及它們的運(yùn)算規(guī)律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質(zhì)；

　　（3）理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會(huì)用伴隨矩陣求逆矩陣；

　　（4）了解矩陣的初等變換和初等矩陣及矩陣等價(jià)的概念，理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的逆矩陣和秩的方法；

　　（5）了解分塊矩陣的概念，掌握分塊矩陣的運(yùn)算法則。

　　以上是針對(duì)行列式、矩陣兩個(gè)個(gè)模塊，結(jié)合考研大綱，分章節(jié)整理考試內(nèi)容、考試要求、常考題型，希望學(xué)員熟練掌握。

　　三、向量

　　1、考試內(nèi)容

　�。�1）向量的概念；

　�。�2）向量的線性組合與線性表示；

　�。�3）向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)；

　�。�4）向量組的極大線性無(wú)關(guān)組；

　�。�5）等價(jià)向量組；

　�。�6）向量組的秩；

　�。�7）向量組的秩與矩陣的秩之間的關(guān)系；

　�。�8）向量的內(nèi)積線性無(wú)關(guān)向量組的正交規(guī)范化方法；

　�。�9）向量空間及其相關(guān)概念；

　�。�10）n維向量空間的基變換和坐標(biāo)變換、過(guò)渡矩陣、向量的內(nèi)積。（其中9、10只有數(shù)一考生要求掌握，數(shù)二、數(shù)三考試不要求）

　　2、考試要求

　�。�1）了解向量的概念，掌握向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算法則；

　�。�2）理解向量的線性組合與線性表示、向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)等概念，掌握向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判別法；

　　（3）理解向量組的極大線性無(wú)關(guān)組的概念，會(huì)求向量組的極大線性無(wú)關(guān)組及秩；

　　（4）理解向量組等價(jià)的概念，理解矩陣的秩與其行（列）向量組的秩之間的關(guān)系；

　�。�5）了解內(nèi)積的概念。掌握線性無(wú)關(guān)向量組正交規(guī)范化的施密特（Schmidt）方法。

　　（6）了解n維向量空間、子空間、基底、維數(shù)、坐標(biāo)等概念；

　�。�7）了解基變換和坐標(biāo)變換公式，會(huì)求過(guò)渡矩陣。（其中5、6只有數(shù)一考生要求掌握，數(shù)二、數(shù)三考試不要求）

　　3、�？碱}型

　�。�1）判定向量組的線性相關(guān)性；

　�。�2）向量組線性相關(guān)性問(wèn)題的證明；

　�。�3）向量組的線性表示問(wèn)題；

　　（4）向量組的極大線性無(wú)關(guān)組與向量組的秩；

　�。�5）過(guò)度矩陣與向量的坐標(biāo)表示（數(shù)一考生要求、數(shù)二、數(shù)三考生不要求）

　　四、線性方程組

　　1、考試內(nèi)容

　　（1）線性方程組的克萊姆（Cramer）法則；

　�。�2）線性方程組有解和無(wú)解的判定；

　　（3）齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解；

　　（4）非齊次線性方程組的解與相應(yīng)的齊次線件方程組（導(dǎo)出組）的解之間的關(guān)系；

　�。�5）非齊次線性方程組的通解

　　2、考試要求

　　（1）會(huì)用克萊姆法則解線性方程組；

　　（2）掌握非齊次線性方程組有解和無(wú)解的判定方法；

　　（3）理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的概念，掌握齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解的求法；

　�。�4）理解非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)及通解的概念；

　�。�5）掌握用初等行變換求解線性方程組的方法。

　　3、常考題型

　�。�1）涉及線性方程組理論的矩陣證明；

　�。�2）線性方程組解得結(jié)構(gòu)與性質(zhì)；

　�。�3）齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解；

　　（4）非齊次線性方程組的通解；

　　（5）方程組的公共解。

　　五、特征值與特征向量

　　1、考試內(nèi)容

　�。�1）矩陣的特征值和特征向量的概念、性質(zhì)；

　　（2）相似矩陣的概念及性質(zhì)；

　�。�3）矩陣可相似對(duì)角化的充分必要條件及相似對(duì)角矩陣；

　　（4）實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量及相似對(duì)角矩陣

　　2、考試要求

　�。�1）理解矩陣的特征值、特征向量的概念，掌握矩陣特征值的性質(zhì)，掌握求矩陣特征值和特征向量的方法；

　　（2）理解矩陣相似的概念，掌握相似矩陣的性質(zhì)，了解矩陣可相似對(duì)角化的充分必要條件，掌握將矩陣化為相似對(duì)角矩陣的方法；

　　（3）掌握實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)。

　　3、�？碱}型

　�。�1）求矩陣的特征值與特征向量；

　�。�2）特征值與特征向量的定義與性質(zhì)；

　�。�3）非是對(duì)稱矩陣的相似對(duì)教化；

　�。�4）是對(duì)稱矩陣的對(duì)教化；

　�。�5）求矩陣的冪矩陣；

　　（6）根據(jù)特征值與特征向量反求矩陣；

　�。�7）有關(guān)特征值與特征向量的證明

　　六、二次型

　　1、考試內(nèi)容

　�。�1）二次型及其矩陣表示；

　　（2）合同變換與合同矩陣；

　　（3）二次型的秩；

　　（4）慣性定理；

　�。�5）二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形；

　�。�6）用正交變換和配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形；

　�。�7）二次型及其矩陣的正定性

　　2、考試要求

　�。�1）了解二次型的概念，會(huì)用矩陣形式表示二次型，了解合同變換與合同矩陣的概念；

　�。�2）了解二次型的秩的概念，了解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形等概念，了解慣性定理，會(huì)用正交變換和配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形；

　　（3）理解正定二次型。正定矩陣的概念，并掌握其判別法。

　　3、�？碱}型

　�。�1）二次型的概念和性質(zhì)；

　�。�2）化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型；

　　（3）含參數(shù)的二次型問(wèn)題；

　�。�4）正定二次型的判別與證明問(wèn)題；

　�。�5）矩陣的相似與合同

　　以上是針對(duì)線性方程組、特征值與特征向量、二次型三個(gè)模塊，結(jié)合考研大綱分章節(jié)梳理、分析，希望2016考研的學(xué)員對(duì)這些內(nèi)容心中有數(shù)，熟練掌握。

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