數(shù)學(xué)教案－圓和圓的位置關(guān)系

1、教材分析

（1）知識(shí)結(jié)構(gòu)

 

（2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

重點(diǎn)：兩圓的位置關(guān)系和兩圓相交、相切的性質(zhì)．它們是本節(jié)的主要內(nèi)容，是圓的重要概念性知識(shí)，也是今后研究圓與圓問(wèn)題的基礎(chǔ)知識(shí)．

難點(diǎn)：兩圓位置關(guān)系的判定與相交兩圓的連心線(xiàn)垂直平分兩圓的公共弦的性質(zhì)的運(yùn)用．由于兩圓位置關(guān)系有5種類(lèi)型，特別是相離有外離和內(nèi)含，相切有外切和內(nèi)切，學(xué)生容易遺漏；而在相交圓的性質(zhì)應(yīng)用中，學(xué)生容易把“相交兩圓的公共弦垂直平分兩圓的連心線(xiàn)．”看成是真命題．

2、教法建議

本節(jié)內(nèi)容需要兩個(gè)課時(shí)．第一課時(shí)主要研究圓和圓的位置關(guān)系；第二課時(shí)相交兩圓的性質(zhì)．

（1）把課堂活動(dòng)設(shè)計(jì)的重點(diǎn)放在如何調(diào)動(dòng)學(xué)生的主體，讓學(xué)生觀察、分析、歸納概括，主動(dòng)獲得知識(shí)；

（2）要重視圓的對(duì)稱(chēng)美的教學(xué)，組織學(xué)生欣賞，在激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣中，獲得知識(shí)，提高能力；

（3）在教學(xué)中，以分類(lèi)思想為指導(dǎo)，以數(shù)形結(jié)合為方法，貫串整個(gè)教學(xué)過(guò)程 ．

第一課時(shí) 圓和圓的位置關(guān)系

教學(xué)目標(biāo) ：

1．掌握?qǐng)A與圓的五種位置關(guān)系的定義、性質(zhì)及判定方法；兩圓連心線(xiàn)的性質(zhì)；

2．通過(guò)兩圓的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的分類(lèi)能力和數(shù)形結(jié)合能力；

3．通過(guò)演示兩圓的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)分析和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力．

教學(xué)重點(diǎn)：

兩圓的五種位置與兩圓的半徑、圓心距的數(shù)量之間的關(guān)系．

教學(xué)難點(diǎn) ：

兩圓位置關(guān)系及判定．

（一）復(fù)習(xí)、引出問(wèn)題

1．復(fù)習(xí)：直線(xiàn)和圓有幾種位置關(guān)系?各是怎樣定義的?

（教師主導(dǎo)，學(xué)生回憶、回答）直線(xiàn)和圓有三種位置關(guān)系，即直線(xiàn)和圓相離、相切、相交．各種位置關(guān)系是通過(guò)直線(xiàn)與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)定義的

2．引出問(wèn)題：平面內(nèi)兩個(gè)圓，它們作相對(duì)運(yùn)動(dòng)，將會(huì)產(chǎn)生什么樣的位置關(guān)系呢?

（二）觀察、分類(lèi)，得出概念

1、讓學(xué)生觀察、分析、比較，分別得出兩圓：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含(包括同心圓)這五種位置關(guān)系，準(zhǔn)確給出描述性定義：

(1)外離：兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，并且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外離．(圖(1))

(2)外切：兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外切．這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．(圖(2))

(3)相交：兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)叫做這兩個(gè)圓相交．(圖(3))

(4)內(nèi)切：兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外，一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)切．這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．(圖(4))

(5)內(nèi)含：兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)含(圖(5))．兩圓同心是兩圓內(nèi)含的一個(gè)特例．  (圖(6))

2、歸納：

(1)兩圓外離與內(nèi)含時(shí)，兩圓都無(wú)公共點(diǎn)．

(2)兩圓外切和內(nèi)切統(tǒng)稱(chēng)兩圓相切，即外切和內(nèi)切的共性是公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)唯一

(3)兩圓位置關(guān)系的五種情況也可歸納為三類(lèi)：相離(外離和內(nèi)含)；相交；相切(外切和內(nèi)切)．

教師組織學(xué)生歸納，并進(jìn)一步考慮：從兩圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)考慮，無(wú)公共點(diǎn)則相離；有一個(gè)公共點(diǎn)則相切；有兩個(gè)公共點(diǎn)則相交．除以上關(guān)系外，還有其它關(guān)系嗎?可能不可能有三個(gè)公共點(diǎn)?

結(jié)論：在同一平面內(nèi)任意兩圓只存在以上五種位置關(guān)系．

（三）分析、研究

1、相切兩圓的性質(zhì)．

讓學(xué)生觀察連心線(xiàn)與切點(diǎn)的關(guān)系，分析、研究，得到相切兩圓的連心線(xiàn)的性質(zhì)：

如果兩個(gè)圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線(xiàn)上．

這個(gè)性質(zhì)由圓的軸對(duì)稱(chēng)性得到，有興趣的同學(xué)課下可以考慮如何對(duì)這一性質(zhì)進(jìn)行證明

2、兩圓位置關(guān)系的數(shù)量特征．

設(shè)兩圓半徑分別為R和r．圓心距為d，組織學(xué)生研究?jī)蓤A的五種位置關(guān)系，r和d之間有何數(shù)量關(guān)系．（圖形略）

兩圓外切 d＝R+r；

兩圓內(nèi)切 d＝R-r (R＞r);

兩圓外離 d＞R+r；

兩圓內(nèi)含 d＜R-r(R＞r);

兩圓相交 R-r＜d＜R+r．

說(shuō)明：注重“數(shù)形結(jié)合”思想的教學(xué)．

（四）應(yīng)用、練習(xí)

例1：  如圖，⊙O的半徑為5厘米，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，OP=8厘米

求：(1)以P為圓心作⊙P與⊙O外切，小圓⊙P的半徑是多少?

(2)以P為圓心作⊙P與⊙O內(nèi)切，大圓⊙P的半徑是多少?

解：（1）設(shè)⊙P與⊙O外切與點(diǎn)A，則

PA=PO-OA

∴PA=3cm．

（2）設(shè)⊙P與⊙O內(nèi)切與點(diǎn)B，則

PB=PO+OB

∴PB=1 3cm．

例2：已知：如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝8，以AC為直徑作⊙O，以B為圓心，4為半徑作．

求證：⊙O與⊙B相外切．

證明：連結(jié)BO，∵AC為⊙O的直徑，AC＝12，

∴⊙O的半徑 ，且O是AC的中點(diǎn)

∴ ，∵∠C=90°且BC=8，

∴ ，

∵⊙O的半徑 ，⊙B的半徑 ，

∴BO=，∴⊙O與⊙B相外切．

 練習(xí)(P138)

（五）小結(jié)

知識(shí)：①兩圓的五種位置關(guān)系：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含；

②以及這五種位置關(guān)系下圓心距和兩圓半徑的數(shù)量關(guān)系；

③兩圓相切時(shí)切點(diǎn)在連心線(xiàn)上的性質(zhì)．

能力：觀察、分析、分類(lèi)、數(shù)形結(jié)合等能力．

思想方法：分類(lèi)思想、數(shù)形結(jié)合思想．

（六）作業(yè) 

教材P151中習(xí)題A組2，3，4題．

第二課時(shí) 相交兩圓的性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo) 

1、掌握相交兩圓的性質(zhì)定理；

2、掌握相交兩圓問(wèn)題中常添的輔助線(xiàn)的作法；

3、通過(guò)例題的分析，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力；

4、結(jié)合相交兩圓連心線(xiàn)性質(zhì)教學(xué)向?qū)W生滲透幾何圖形的對(duì)稱(chēng)美．

教學(xué)重點(diǎn)

相交兩圓的性質(zhì)及應(yīng)用．

教學(xué)難點(diǎn) 

應(yīng)用軸對(duì)稱(chēng)來(lái)證明相交兩圓連心線(xiàn)的性質(zhì)和準(zhǔn)確添加輔助線(xiàn)．

教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)

（一）圖形的對(duì)稱(chēng)美

相切兩圓是以連心線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)圖形．相交兩圓具有什么性質(zhì)呢?

（二）觀察、猜想、證明

1、觀察：同樣相交兩圓，也構(gòu)成對(duì)稱(chēng)圖形，它是以連心線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形．

2、猜想：“相交兩圓的連心線(xiàn)垂直平分公共弦”．

3、證明：

對(duì)A層學(xué)生讓學(xué)生寫(xiě)出已知、求證、證明，教師組織；對(duì)B、C層在教師引導(dǎo)下完成．

已知：⊙O1和⊙O2相交于A，B．

求證：Q1O2是AB的垂直平分線(xiàn)．

分析：要證明O1O2是AB的垂直平分線(xiàn)，只要證明O1O2上的點(diǎn)和線(xiàn)段AB兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，于是想到連結(jié)O1A、O2A、O1B、O2B． 

證明：連結(jié)O1A、O1B、 O2A、O2B，∵O1A=O1B，

∴O1點(diǎn)在AB的垂直平分線(xiàn)上．

又∵O2A＝O2B，∴點(diǎn)O2在AB的垂直平分線(xiàn)上．

因此O1O2是AB的垂直平分線(xiàn)．

也可考慮利用圓的軸對(duì)稱(chēng)性加以證明：

∵⊙Ol和⊙O2，是軸對(duì)稱(chēng)圖形，∴直線(xiàn)O1O2是⊙Ol和⊙O2的對(duì)稱(chēng)軸．

∴⊙Ol和⊙O2的公共點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)O1O2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)即在⊙Ol上又在⊙O2上．

∴A點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)O1O2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)只能是B點(diǎn)，

∴連心線(xiàn)O1O2是AB的垂直平分線(xiàn)．

定理：相交兩圓的連心線(xiàn)垂直平分公共弦．

注意：相交兩圓連心線(xiàn)垂直平分兩圓的公共弦，而不是相交兩圓的公共弦垂直平分兩圓的連心線(xiàn)．

（三）應(yīng)用、反思

例1、已知兩個(gè)等圓⊙Ol和⊙O2相交于A，B兩點(diǎn)，⊙Ol經(jīng)O2。

求∠OlAB的度數(shù)．

分析：由所學(xué)定理可知，O1O2是AB的垂直平分線(xiàn)，

又⊙O1與⊙O2是兩個(gè)等圓，因此連結(jié)O1O2和AO2，AO1，△O1AO2構(gòu)成等邊三角形，同時(shí)可以推證⊙O l和⊙O2構(gòu)成的圖形不僅是以O(shè)1O2為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，同時(shí)還是以AB為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形．從而可由

∠OlAO2＝60°，推得∠OlAB＝30°．

解：⊙O1經(jīng)過(guò)O2，⊙O1與⊙O2是兩個(gè)等圓

∴OlA=O1O2=AO2

∴∠O1A O2=60°，

又AB⊥O1O2

∴∠OlAB =30°．

例2、已知，如圖，A是⊙O l、⊙O2的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)P是O1O2的中點(diǎn)。過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)MN垂直于PA，交⊙O l、⊙O2于M、N。

求證：AM=AN．

證明：過(guò)點(diǎn)Ol、O2分別作OlC⊥MN、O2D⊥MN，垂足為C、D，則OlC∥PA∥O2D，且AC= AM，AD= AN．

∵OlP=O2P ，∴AD=AM，∴AM=AN．

例3、已知：如圖，⊙Ol與⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)，C為⊙Ol上一點(diǎn)，AC交⊙O2于D，過(guò)B作直線(xiàn)EF交⊙Ol、⊙O2于E、F．

求證：EC∥DF

證明：連結(jié)AB

∵在⊙O2中∠F=∠CAB，

在⊙Ol中∠CAB=∠E，

∴∠F=∠E，∴EC∥DF．

反思：在解有關(guān)相交兩圓的問(wèn)題時(shí)，常作出連心線(xiàn)、公共弦，或連結(jié)交點(diǎn)與圓心，從而把兩圓半徑，公共弦長(zhǎng)的一半，圓心距集中到一個(gè)三角形中，運(yùn)用三角形有關(guān)知識(shí)來(lái)解，或者結(jié)合相交弦定理，圓周角定理綜合分析求解．

（四）小結(jié)

知識(shí)：相交兩圓的性質(zhì)：相交兩圓的連心線(xiàn)垂直平分公共弦．該定理可以作為證明兩線(xiàn)垂直或證明線(xiàn)段相等的依據(jù)．

能力與方法：①在解決兩圓相交的問(wèn)題中常常需要作出兩圓的公共弦作為輔助線(xiàn)，使兩圓中的角或線(xiàn)段建立聯(lián)系，為證題創(chuàng)造條件，起到了“橋梁”作用；②圓的對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用．

（五）作業(yè)   教材P152習(xí)題A組7、8、9題；B組1題．

探究活動(dòng)

問(wèn)題1：已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)O1、O2、…、On在線(xiàn)段AB上，分別以O(shè)1、O2、…、On為圓心作圓，使⊙O1與⊙O內(nèi)切，⊙O2與⊙O1外切，⊙O3與⊙O2外切，…，⊙On與⊙On-1外切且與⊙O內(nèi)切．設(shè)⊙O的周長(zhǎng)等于C，⊙O1、⊙O2、…、⊙On的周長(zhǎng)分別為C1、C2、…、Cn．

(1)當(dāng)n=2時(shí)，判斷Cl+C2與C的大小關(guān)系；

(2)當(dāng)n=3時(shí)，判斷Cl+C2+ C3與C的大小關(guān)系；

(3)當(dāng)n取大于3的任一自然數(shù)時(shí)，Cl十C2十…十Cn與C的大小關(guān)系怎樣?證明你的結(jié)論．

提示：假設(shè)⊙O、⊙O1、⊙O2、…、⊙On的半徑分別為r、rl、r2、…、rn，通過(guò)周長(zhǎng)計(jì)算，比較可得（1）Cl+C2=C；（2）Cl+C2+ C3=C；（3）Cl十C2十…十Cn=C．

問(wèn)題2：有八個(gè)同等大小的圓形，其中七個(gè)有陰影的圓形都固定不動(dòng)，第八個(gè)圓形，緊貼另外七個(gè)無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)，當(dāng)它繞完這些固定不動(dòng)的圓形一周，本身將旋轉(zhuǎn)了多少轉(zhuǎn)？

提示：1、實(shí)驗(yàn)：用硬幣作初步實(shí)驗(yàn)；結(jié)果硬幣一共轉(zhuǎn)了4轉(zhuǎn)．

2、分析：當(dāng)你把動(dòng)圓無(wú)滑動(dòng)地沿著 圓周長(zhǎng)的直線(xiàn)上滾動(dòng)時(shí)，這個(gè)動(dòng)圓是轉(zhuǎn) 轉(zhuǎn)，但是，這個(gè)動(dòng)圓是沿著弧線(xiàn)滾動(dòng)，那么方才的說(shuō)法就不正確了．在我們這個(gè)題目中，那動(dòng)圓繞著相當(dāng)于它的圓周長(zhǎng)的 的弧線(xiàn)旋轉(zhuǎn)的時(shí)候，一共走過(guò)的不是 轉(zhuǎn)；而是 轉(zhuǎn)，因此，它繞過(guò)六個(gè)這樣的弧形的時(shí)，就轉(zhuǎn)了 轉(zhuǎn)

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