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正多邊形和圓
教學(xué)設(shè)計(jì)示例1
教學(xué)目標(biāo) ：
（1）使學(xué)生理解正多邊形概念，初步掌握正多邊形與圓的關(guān)系的第一個(gè)定理；
（2）通過(guò)正多邊形定義教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生歸納能力；通過(guò)正多邊形與圓關(guān)系定理的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想、推理、遷移能力；
（3）進(jìn)一步向?qū)W生滲透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辯證法思想．
教學(xué)重點(diǎn)：
正多邊形的概念與正多邊形和圓的關(guān)系的第一個(gè)定理．
教學(xué)難點(diǎn) ：
對(duì)定理的理解以及定理的證明方法．
教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：
（一）觀察、分析、歸納：
觀察、分析：1．等邊三角形的邊、角各有什么性質(zhì)？
2．正方形的邊、角各有什么性質(zhì)？
歸納：等邊三角形與正方形的邊、角性質(zhì)的共同點(diǎn)．
教師組織學(xué)生進(jìn)行，并可以提問(wèn)學(xué)生問(wèn)題．
（二）正多邊形的概念：
（1）概念：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形．如果一個(gè)正多邊形有n(n≥3)條邊，就叫正n邊形．等邊三角形有三條邊叫正三角形，正方形有四條邊叫正四邊形．
（2）概念理解：
①請(qǐng)同學(xué)們舉例，自己在日常生活中見過(guò)的正多邊形．（正三角形、正方形、正六邊形，…….）
②矩形是正多邊形嗎？為什么？菱形是正多邊形嗎？為什么？
矩形不是正多邊形，因?yàn)檫叢灰欢ㄏ嗟龋庑尾皇钦噙呅危驗(yàn)榻遣灰欢ㄏ嗟龋?/p>
（三）分析、發(fā)現(xiàn)：
問(wèn)題：正多邊形與圓有什么關(guān)系呢？
發(fā)現(xiàn)：正三角形與正方形都有內(nèi)切圓和外接圓，并且為同心圓．
分析：正三角形三個(gè)頂點(diǎn)把圓三等分；正方形的四個(gè)頂點(diǎn)把圓四等分．要將圓五等分，把等分點(diǎn)順次連結(jié)，可得正五邊形．要將圓六等分呢？
（四）多邊形和圓的關(guān)系的定理
定理：把圓分成n(n≥3)等份：
(1)依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形；
(2)經(jīng)過(guò)各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形．
我們以n=5的情況進(jìn)行證明．
已知：⊙O中， = = = = ，TP、PQ、QR、RS、ST分別是經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C、D、E的⊙O的切線．
求證：（1）五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形；
（2）五邊形PQRST是⊙O的外切正五邊形．
證明：（略）
引導(dǎo)學(xué)生分析、歸納證明思路：
弧相等
說(shuō)明：(1)要判定一個(gè)多邊形是不是正多邊形，除根據(jù)定義來(lái)判定外，還可以根據(jù)這個(gè)定理來(lái)判定，即：①依次連結(jié)圓的n(n≥3)等分點(diǎn)，所得的多邊形是正多迫形；②經(jīng)過(guò)圓的n(n≥3)等分點(diǎn)作圓的切線，相鄰切線相交成的多邊形是正多邊形．
(2)要注意定理中的“依次”、“相鄰”等條件．
(3)此定理被稱為正多邊形的判定定理，我們可以根據(jù)它判斷一多邊形為正多邊形或根據(jù)它作正多邊形．
（五）初步應(yīng)用
P157練習(xí)
1、(口答)矩形是正多邊形嗎?菱形是正多邊形嗎?為什么?
2．求證：正五邊形的對(duì)角線相等．
3．如圖，已知點(diǎn)A、B、C、D、E是⊙O的5等分點(diǎn)，畫出⊙O的內(nèi)接和外切正五邊形．
（六）小結(jié)：
知識(shí)：（1）正多邊形的概念．（2）n等分圓周(n≥3)可得圓的內(nèi)接正n邊形和圓的外切正n邊形．
能力和方法：正多邊形的證明方法和思路，正多邊形判斷能力
（七）作業(yè) 教材P172習(xí)題A組2、3．
教學(xué)設(shè)計(jì)示例2
教學(xué)目標(biāo) ：
（1）理解正多邊形與圓的關(guān)系定理；
（2）理解正多邊形的對(duì)稱性和邊數(shù)相同的正多邊形相似的性質(zhì)；
（3）理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念；
（4）通過(guò)正多邊形性質(zhì)的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的探索、推理、歸納、遷移等能力；
教學(xué)重點(diǎn)：
理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角的概念和性質(zhì)定理．
教學(xué)難點(diǎn) ：
對(duì)“正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，并且這兩個(gè)圓是同心圓”的理解．
教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：
（一）提出問(wèn)題：
問(wèn)題：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了正多邊形的定義，并且知道只要n等分(n≥3)圓周就可以得到的圓的內(nèi)接正n邊形和圓的外切正n邊形．反過(guò)來(lái)，是否每一個(gè)正多邊形都有一個(gè)外接圓和內(nèi)切圓呢？
（二）實(shí)踐與探究：
組織學(xué)生自己完成以下活動(dòng)．
實(shí)踐：1、作已知三角形的外接圓，圓心是已知三角形的什么線的交點(diǎn)？半徑是什么？
2、作已知三角形的內(nèi)切圓，圓心是已知三角形的什么線的交點(diǎn)？半徑是什么？
探究1：當(dāng)三角形為正三角形時(shí)，它的外接圓和內(nèi)切圓有什么關(guān)系？
探究2：（1）正方形有外接圓嗎？若有外接圓的圓心在哪？(正方形對(duì)角線的交點(diǎn)．)
（2）根據(jù)正方形的哪個(gè)性質(zhì)證明對(duì)角線的交點(diǎn)是它的外接圓圓心？
（3）正方形有內(nèi)切圓嗎？圓心在哪？半徑是誰(shuí)？
（三）拓展、推理、歸納：
（1）拓展、推理：
過(guò)正五邊形ABCDE的頂點(diǎn)A、B、C、作⊙O連結(jié)OA、OB、OC、OD．
同理，點(diǎn)E在⊙O上．
所以正五邊形ABCDE有一個(gè)外接圓⊙O．
因?yàn)檎暹呅蜛BCDE的各邊是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等．因此，以點(diǎn)O為圓心，以弦心距(OH)為半徑的圓與正五邊形的各邊都相切．可見正五邊形ABCDE還有一個(gè)以O(shè)為圓心的內(nèi)切圓．
（2）歸納：
正五邊形的任意三個(gè)頂點(diǎn)都不在同一條直線上
它的任意三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓，即確定了圓心和半徑．
其他兩個(gè)頂點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑．
正五邊形的各頂點(diǎn)共圓．
正五邊形有外接圓．
圓心到各邊的距離相等．
正五邊形有內(nèi)切圓，它的圓心是外接圓的圓心，半徑是圓心到任意一邊的距離．
照此法證明，正六邊形、正七邊形、…正n邊形都有一個(gè)外接圓和內(nèi)切圓．
定理： 任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓．
正多邊形的外接圓(或內(nèi)切圓)的圓心叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距．正多邊形各邊所對(duì)的外接圓的圓心角都相等．正多邊形每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角．正n邊形的每個(gè)中心角都等于 ．
（3）鞏固練習(xí)：
1、正方形ABCD的外接圓圓心O叫做正方形ABCD的______．
2、正方形ABCD的內(nèi)切圓⊙O的半徑OE叫做正方形ABCD的______．
3、若正六邊形的邊長(zhǎng)為1，那么正六邊形的中心角是______度，半徑是______，邊心距是______，它的每一個(gè)內(nèi)角是______．
4、正n邊形的一個(gè)外角度數(shù)與它的______角的度數(shù)相等．
（四）正多邊形的性質(zhì)：
1、各邊都相等．
2、各角都相等．
觀察正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形是不是軸對(duì)稱圖形？如果是，它們又各應(yīng)有幾條對(duì)稱軸？
3、正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都通過(guò)正n邊形的中心．邊數(shù)是偶數(shù)的正多邊形還是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心．
4、邊數(shù)相同的正多邊形相似．它們周長(zhǎng)的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．
5、任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓．
以上性質(zhì)，教師引導(dǎo)學(xué)生自主探究和歸納，可以以小組的形式研究，這樣既培養(yǎng)學(xué)生的探究問(wèn)題的能力、培養(yǎng)學(xué)生的研究意識(shí)，也培養(yǎng)學(xué)生的協(xié)作學(xué)習(xí)精神．
（五）總結(jié)
知識(shí)：（1）正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念；
（2）正多邊形與圓的關(guān)系定理、正多邊形的性質(zhì)．
能力：探索、推理、歸納等能力．
方法：證明點(diǎn)共圓的方法．
（六）作業(yè) P159中練習(xí)1、2、3．
教學(xué)設(shè)計(jì)示例3
教學(xué)目標(biāo) ：
（1）鞏固正多邊形的有關(guān)概念、性質(zhì)和定理；
（2）通過(guò)證明和畫圖提高學(xué)生綜合運(yùn)用分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；
（3）通過(guò)例題的研究，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和不斷更新的創(chuàng)新意識(shí)及選優(yōu)意識(shí)．
教學(xué)重點(diǎn)：
綜合運(yùn)用正多邊形的有關(guān)概念和正多邊形與圓關(guān)系的有關(guān)定理來(lái)解決問(wèn)題，要理解通過(guò)對(duì)具體圖形的證明所給出的一般的證明方法，還要注意與前面所學(xué)知識(shí)的聯(lián)想和化歸．
教學(xué)難點(diǎn) ：綜合運(yùn)用知識(shí)證題．
教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：
（一）知識(shí)回顧
1．什么叫做正多邊形？
2．什么是正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角？
3．正多邊形有哪些性質(zhì)？(邊、角、對(duì)稱性、相似性、有兩圓且同心)
4．正n邊形的每個(gè)中心角都等于 ．
5．正多邊形的有關(guān)的定理．
（二）例題研究：
例1、求證：各角相等的圓外切五邊形是正五邊形．
已知：如圖，在五邊形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，邊AB、BC、CD、DE、EA與⊙O分別相切于A’、B’、C’、D’、E’．
求證：五邊形ABCDE是正五邊形．
分析：要證五邊形ABCDE是正五邊形，已知已具備了五個(gè)角相等，顯然證五條邊相等即可．
教師引導(dǎo)學(xué)生分析，學(xué)生動(dòng)手證明．
證法1：連結(jié)OA、OB、OC，
∵五邊形ABCDE外切于⊙O．
∴∠BAO=∠OAE，∠OCB=∠OCD，∠OBA=∠OBC，
又∵∠BAE=∠ABC=∠BCD．
∴∠BAO=∠OCB．
又∵OB=OB
∴△ABO≌△CBO，∴AB=BC，同理 BC=CD=DE=EA．
∴五邊形ABCDE是正五邊形．
證法2：作⊙O的半徑OA’、OB’、OC’，則
OA’⊥AB，OB’⊥BC、OC’⊥CD．
∠B=∠C ∠1=∠2 = ．
同理 = = = ，
即切點(diǎn)A’、B’、C’、D’、E’是⊙O的5等分點(diǎn)．所以五邊形ABCDE是正五邊形．
反思：判定正多邊形除了用定義外，還常常用正多邊形與圓的關(guān)系定理1來(lái)判定，證明關(guān)鍵是證出各切點(diǎn)為圓的等分點(diǎn)．由同樣的方法還可以證明“各角相等的圓外切n邊形是正邊形”．
此外，用正多邊形與圓的關(guān)系定理1中“把圓n等分，依次連結(jié)各分點(diǎn)，所得的多邊形是圓內(nèi)接正多邊形”還可以證明“各邊相等的圓內(nèi)接n邊形是正n邊形”，證明關(guān)鍵是證出各接點(diǎn)是圓的等分點(diǎn)。
拓展1：已知：如圖，五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA．
求證：五邊形ABCDE是正五邊形．（證明略）
分小組進(jìn)行證明競(jìng)賽，并歸納學(xué)生的證明方法．
拓展2：已知：如圖，同心圓⊙O分別為五邊形ABCDE內(nèi)切圓和外接圓，切點(diǎn)分別為F、G、H、M、N．
求證：五邊形ABCDE是正五邊形．（證明略）
學(xué)生獨(dú)立完成證明過(guò)程，對(duì)B、C層學(xué)生教師給予及時(shí)指導(dǎo)，最后可以應(yīng)用實(shí)物投影展示學(xué)生的證明成果，特別是對(duì)證明方法好，步驟推理嚴(yán)密的學(xué)生給予表?yè)P(yáng)．
例2、已知：正六邊形ABCDEF．
求作：正六邊形ABCDEF的外接圓和內(nèi)切圓．
作法：1過(guò)A、B、C三點(diǎn)作⊙O．⊙O就是所求作的正六邊形的外接圓．
2、以O(shè)為圓心，以O(shè)到AB的距離(OH)為半徑作圓，所作的圓就是正六邊形的內(nèi)切圓．
用同樣的方法，我們可以作正n邊形的外接圓與內(nèi)切圓．
練習(xí)：P161
1、求證：各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形．
2、(口答)下列命題是真命題嗎?如果不是，舉出一個(gè)反例．
(1)各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形；
(2)各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形．
3、已知：正方形ABCD．求作：正方形ABCD的外接圓與內(nèi)切圓．
（三）小結(jié)
知識(shí)：復(fù)習(xí)了正多邊形的定義、概念、性質(zhì)和判定方法．
能力與方法：重點(diǎn)復(fù)習(xí)了正多邊形的判定．正多邊形的外接圓與內(nèi)切圓的畫法．
（四）作業(yè)
教材P172習(xí)題4、5；另A層學(xué)生：P174B組3、4．
探究活動(dòng)
折疊問(wèn)題：（1）想一想：怎樣把一個(gè)正三角形紙片折疊一個(gè)最大的正六邊形．
（提示：①對(duì)折；②再折使A、B、C分別與O點(diǎn)重合即可）
（2）想一想：能否把一個(gè)邊長(zhǎng)為8正方形紙片折疊一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正六邊形．
（提示：可以．主要應(yīng)用把一個(gè)直角三等分的原理．參考圖形如下：
①對(duì)折成小正方形ABCD；
②對(duì)折小正方形ABCD的中線；
③對(duì)折使點(diǎn)B在小正方形ABCD的中線上（即B’）；
④則B、B’為正六邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)，這樣可得滿足條件的正六邊形．）
探究問(wèn)題：
（安徽省2002）某學(xué)習(xí)小組在探索“各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是否為正多邊形”時(shí)，進(jìn)行如下討論：
甲同學(xué)：這種多邊形不一定是正多邊形，如圓內(nèi)接矩形；
乙同學(xué)：我發(fā)現(xiàn)邊數(shù)是6時(shí)，它也不一定是正多邊形．如圖一，△ABC是正三角形, 形， = = ，可以證明六邊形ADBECF的各內(nèi)角相等，但它未必是正六邊形；
丙同學(xué)：我能證明，邊數(shù)是5時(shí)，它是正多邊形．我想，邊數(shù)是7時(shí)，它可能也 是正多邊形．
(1)請(qǐng)你說(shuō)明乙同學(xué)構(gòu)造的六邊形各內(nèi)角相等．
(2)請(qǐng)你證明，各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接七邊形ABCDEFG(如圖二)是正七邊形(不必寫已知、求證)．
(3)根據(jù)以上探索過(guò)程，提出你的猜想(不必證明)．
（1）[說(shuō)明]
（2）[證明]
（3）[猜想]
解：（1）由圖知∠AFC對(duì) ．因?yàn)?= ，而∠DAF對(duì)的 = + = + = ．所以∠AFC=∠DAF．
同理可證，其余各角都等于∠AFC．所以，圖1中六邊形各內(nèi)角相．
（2）因?yàn)椤螦對(duì) ，∠B對(duì) ，又因?yàn)椤螦=∠B，所以 = ．所以 = ．
同理 = = = = = = ．所以 七邊形ABCDEFG是正七邊形．
猜想：當(dāng)邊數(shù)是奇數(shù)時(shí)(或當(dāng)邊數(shù)是3，5，7，9，……時(shí))，各內(nèi)角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形．
正多邊形和圓
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