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評(píng)一堂探究課
開課人: 浙江省洞頭一中/殷述行（高級(jí)教師）
評(píng)課人:浙江省洞頭一中/陳后萬(wàn)（中教一級(jí)）
學(xué)情分析：
高三（7）是我校理科重點(diǎn)班，該班的學(xué)生具有良好的數(shù)學(xué)功底，處于復(fù)習(xí)階段的他們目標(biāo)更明確，學(xué)習(xí)熱情高，課堂投入，思考積極。就本節(jié)開課的內(nèi)容而言，學(xué)生已掌握了“對(duì)稱問題”本質(zhì)屬性，能夠從圖象和表達(dá)式上準(zhǔn)確地理解對(duì)稱問題。但也只是停留在就事論事的基礎(chǔ)上，對(duì)問題的抽象、歸納概括，引申拓展還缺乏一定的能力和意識(shí)。對(duì)于周期概念，學(xué)生沒有什么的問題。
教材分析：
1.對(duì)稱問題是高中數(shù)學(xué)中比較難的問題，學(xué)生一般由于問題的抽象性，同時(shí)由于這中間存在關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱和關(guān)于直線對(duì)稱這兩類問題，而它們的數(shù)學(xué)表達(dá)式又是那么相似，學(xué)生如果沒有真正理解很難分清誰(shuí)是誰(shuí)非。而且在高考的問題中經(jīng)常會(huì)碰到，因此有必要加以澄清和深化理解。
2.對(duì)稱問題和周期問題也存在一定的聯(lián)系，本節(jié)可以通過足夠的條件闡明這一聯(lián)系的實(shí)質(zhì)。
教學(xué)目標(biāo) ：
理解一個(gè)函數(shù)存在兩次對(duì)稱（可能關(guān)于兩個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或兩條直線對(duì)稱或一個(gè)點(diǎn)加上一個(gè)對(duì)直線）時(shí)，如何判斷函數(shù)具有周期性。
重點(diǎn)和難點(diǎn)：具有兩次對(duì)稱問題的抽象函數(shù)具有周期性，而且要求求出周期。
教學(xué)方法：從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，以啟發(fā)思想為指導(dǎo)，精講重思，暴露學(xué)生的思維，使學(xué)生整節(jié)課都處于思考之中。
教學(xué)程序：
一、引入
師：當(dāng)一個(gè)人站在一面鏡子前，面對(duì)鏡子一定的距離，那么在鏡中的像有什么特征？
生：（物理常識(shí)）人和像關(guān)于鏡子對(duì)稱。
師：現(xiàn)在在此人的身后再放一面鏡子，鏡面對(duì)著人的背面，此時(shí)在此人面前的鏡子中的像又是什么？
生：如果鏡子夠大的話，里面將是無(wú)數(shù)個(gè)排列的人。
師：道理何在?
生：首先是人在前面鏡中的像連同人一起要在后面鏡中成像，這一像反過來連同人又在前面鏡中成像，這樣反反復(fù)復(fù)，就得到了無(wú)數(shù)個(gè)人像，而且具有周期性（即圖象重復(fù)出現(xiàn)）。
師：如果將人看成一段函數(shù)，將鏡子看成一條對(duì)稱軸，那么整個(gè)函數(shù)的圖象應(yīng)該是怎樣的（圖象具有什么特征）。
引入課題：對(duì)稱+對(duì)稱=？
二、探究
回顧：關(guān)于圖象的對(duì)稱問題分為兩類：一類是關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，另一類是關(guān)于直線對(duì)稱，今天我們來研究一般的函數(shù)對(duì)稱問題，我們從函數(shù)表達(dá)式來研究，對(duì)于直線對(duì)稱：若f(x)關(guān)于x=a對(duì)稱，則有f(x)=f(2a-x)或f(a+x)=f(a-x)；對(duì)于點(diǎn)對(duì)稱：f(x)關(guān)于（a，0）對(duì)稱，則有f(x)=-(2a-x)或f(a+x)=-f(a-x)。
對(duì)于奇函數(shù)[f(x)=-f(-x)]和偶函數(shù)[f(x)=f(-x)],則是這兩類對(duì)稱中的特例。
延伸：若是f(a+x)=f(b+x)，則函數(shù)關(guān)于什么對(duì)稱（關(guān)于直線x=(a+b)/2對(duì)稱）
提問：請(qǐng)同學(xué)們找?guī)讉�(gè)關(guān)于直線x=a對(duì)稱的函數(shù)的表達(dá)式？
生：f(4a-x)=f(6a+x)
下面研究當(dāng)函數(shù)具有兩次對(duì)稱時(shí)，結(jié)果有什么特征？
問題設(shè)計(jì)：
①函數(shù)f(x)（1）是偶函數(shù)，（2）關(guān)于x=a對(duì)稱
分析：由條件（2），可得f(a+x)=f(a-x),又由條件(1)，所以f(x+a)=f(x-a)。
(以x+a代替上式中的x)，所以f(x)=f(2a+x)，由周期定義f(x)=f(T+x)，所以f(x)是以|2a|為周期的函數(shù)
②函數(shù)f(x)（1）是奇函數(shù)，（2）關(guān)于x=a對(duì)稱
分析：由條件（2），可得f(x)=f(2a-x)又由條件(1)f(x)=-f(-x),所以-f(-x)=f(2a-x)，即-f(x)=f(2a+x)，所以f(4a+x)=-f(2a+x)=f(x)，可得函數(shù)f(x)是以|4a|為周期的函數(shù)，
以此類推，
③函數(shù)f(x)滿足（1）是偶函數(shù)，（2）關(guān)于（a,0）對(duì)稱
④函數(shù)f(x)滿足（1）是奇函數(shù)，（2）關(guān)于（a,0）對(duì)稱
⑤函數(shù)f(x)滿足（1）關(guān)于x=b對(duì)稱，（2）關(guān)于x=a對(duì)稱
⑥函數(shù)f(x)滿足（1）關(guān)于（a,0）對(duì)稱，（2）關(guān)于（b,0）對(duì)稱
⑦函數(shù)f(x)滿足（1）關(guān)于x=a對(duì)稱，（2）關(guān)于（b,0）對(duì)稱
（師生共同完成）
學(xué)生練習(xí)：（見復(fù)習(xí)參考書）
評(píng)教：
教材處理恰當(dāng)
1.前面的課堂教學(xué)中已經(jīng)講了關(guān)于圖象平移，伸縮的問題，對(duì)于對(duì)稱問題在前面也分析了關(guān)于含絕對(duì)值的函數(shù)圖象問題（y=|f(x)|,y=f(|x|)）。
2.今天這堂課分析非絕對(duì)值的對(duì)稱問題，主要是關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱和直線對(duì)稱的問題。
3.下一節(jié)殷老師構(gòu)思，將一個(gè)函數(shù)的對(duì)稱變成兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱問題，即如：函數(shù)f(x)和函數(shù)f(-x)的關(guān)系；函數(shù)f(x)和函數(shù)f(2a-x)的關(guān)系；函數(shù)-f(x)和函數(shù)f(2a+x)的關(guān)系，即對(duì)照這堂課的內(nèi)容，將一個(gè)函數(shù)變成兩個(gè)函數(shù)，再尋找二者關(guān)系，以便通過其中一個(gè)函數(shù)來解決另一個(gè)函數(shù)問題。如：已知函數(shù)-f(x)的圖象，畫出函數(shù)f(2a+x)的圖象及分析其性質(zhì)。
（點(diǎn)評(píng)：對(duì)于教學(xué)任務(wù)的分析是一個(gè)教師的教學(xué)水平的重要標(biāo)志，同樣的一個(gè)教師對(duì)教材的處理各不相同，當(dāng)然所得的結(jié)果也各不相同，我們?cè)u(píng)一節(jié)課好壞，同時(shí)也要關(guān)注這堂課的前述及后續(xù)，只有知道前后的內(nèi)容，才能把握上課之人想法，教學(xué)思路，處理教材的能力，我認(rèn)為這樣的處理比較有邏輯性，能夠幫學(xué)生梳理知識(shí)，使學(xué)生對(duì)知識(shí)的結(jié)構(gòu)比較清晰，符合建構(gòu)主義觀點(diǎn)。這對(duì)高考復(fù)習(xí)內(nèi)容較多的情況下更容易幫助學(xué)生的理解，體現(xiàn)上課老師對(duì)教材具有較高的處理水平。）
引入貼近生活
數(shù)學(xué)知識(shí)通常被學(xué)生認(rèn)為是最沒用的，枯燥乏味的，原因是學(xué)生在實(shí)際生活中的問題很少能夠和數(shù)學(xué)聯(lián)系起來，而通常這樣的聯(lián)系確定很難尋找，現(xiàn)在的新教材就加強(qiáng)了這一方面的聯(lián)系，這堂課殷老師就以是實(shí)際生活中常見的照鏡子一事引入，這里我覺點(diǎn)有兩個(gè)地方比較不錯(cuò)：（1）將數(shù)學(xué)知識(shí)和實(shí)際聯(lián)系起來，因此說聯(lián)系還是有的，主要我們沒有仔細(xì)體會(huì)，沒有這種思維習(xí)慣，這樣有聯(lián)系的問題學(xué)生就感興趣，自然投入更多了；（2）更為重要的是，這個(gè)引入不但引出了主題，還成功地解決了難點(diǎn)（抽象思維能力），如果是直接給出問題，學(xué)生可能不會(huì)想到結(jié)論是什么，但是由鏡子引入，學(xué)生就很容易理解為什么函數(shù)具有周期性，為接下來從函數(shù)表達(dá)式上來分析埋下了墊腳石。對(duì)于問題情境的設(shè)置恰當(dāng)與否，決定了能否激發(fā)學(xué)生的求知欲望，能否積極主動(dòng)地參與到課堂教學(xué)中。
可改進(jìn)之處：對(duì)于照鏡子問題，在實(shí)際生活同時(shí)用兩面鏡子，可能不多，因此學(xué)生要推斷也只憑想象再結(jié)合物理知識(shí)，可能有學(xué)生想出來，那么他對(duì)這一問題的理解就憑老師的講解，還是存有疑惑，如果能現(xiàn)實(shí)操作，理解會(huì)更深，當(dāng)然不可能真的取來兩面大鏡子，我們可借助于“幾何畫板”數(shù)學(xué)教學(xué)軟件，它對(duì)于對(duì)稱問題，操作簡(jiǎn)單，下面是本人做的圖片：
(三)問題設(shè)計(jì)巧妙
函數(shù)f(x)滿足（1）是偶函數(shù)，（2）關(guān)于x=a對(duì)稱
②函數(shù)f(x)滿足（1）是奇函數(shù)，（2）關(guān)于x=a對(duì)稱
③函數(shù)f(x)滿足（1）是偶函數(shù)，（2）關(guān)于（a,0）對(duì)稱
④函數(shù)f(x)滿足（1）是奇函數(shù)，（2）關(guān)于（a,0）對(duì)稱
⑤函數(shù)f(x)滿足（1）關(guān)于x=b對(duì)稱，（2）關(guān)于x=a對(duì)稱
⑥函數(shù)f(x)滿足（1）關(guān)于（a,0）對(duì)稱，（2）關(guān)于（b,0）對(duì)稱
⑦函數(shù)f(x)滿足（1）關(guān)于x=a對(duì)稱，（2）關(guān)于（b,0）對(duì)稱
題組、變式訓(xùn)練是提高學(xué)生思維能力，分析問題解決問題能力的常用方法，
（1）學(xué)生能通過辨析達(dá)到對(duì)問題真正理解，對(duì)于突破難點(diǎn)起關(guān)鍵作用。
（2）通過一連串的結(jié)論，使學(xué)生在以后拿到類似的問題，會(huì)引起重視，究竟是其中哪一種。
同時(shí)這里的問題設(shè)計(jì)遵循了由易到難，特殊到一般的過程，這和學(xué)生的思維認(rèn)識(shí)規(guī)律相符合。
可改進(jìn)之處：對(duì)于這類問題，當(dāng)然有必要讓學(xué)生理解，對(duì)于一連串問題的理解經(jīng)過思考和老師的分析是可以理解但是學(xué)生的抽象思維能力還是有待于提高的，到最后可能在頭腦里的印象還是比較模糊了，誰(shuí)是誰(shuí)非。⑤⑥⑦三個(gè)例子均可讓學(xué)生自己來演練，以便讓每個(gè)學(xué)生有獨(dú)立思考的機(jī)會(huì)。以提高學(xué)生獨(dú)立解決問題的能力，和真正檢測(cè)學(xué)生對(duì)剛才問題的理解程度。
（四）善于捕捉歸納
在教學(xué)中處處留心，總能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)什么，對(duì)于平時(shí)的練習(xí)也是一樣，通過平時(shí)作問題，從問題中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)行提練、歸納。這節(jié)課的問題設(shè)計(jì)來自殷老師平時(shí)的留心觀察，這一點(diǎn)確實(shí)提醒我們這些年青教師，要善于觀察、思考、發(fā)現(xiàn)問題，總結(jié)規(guī)律。
（五）分析透徹易懂
課堂45分鐘的效率如何是學(xué)生學(xué)好每一門課程的關(guān)鍵，教師分析有沒有到位，直接影響著學(xué)生的聽課效率，講得多并不是好事，講少了怕學(xué)生聽不懂，這是很多新教師關(guān)心的問題，老教師上課時(shí)知道講到哪就夠了，知道學(xué)生在哪兒可能有疑惑，就重點(diǎn)講解，有些地方一帶而過，這節(jié)課很多地方分析的非常清楚，比如在講解，關(guān)于直線對(duì)稱和點(diǎn)對(duì)稱時(shí)
求表達(dá)式，他這樣講解f(x)關(guān)于x=a對(duì)稱，為什么會(huì)f(x)=f(2a-x)
（1）兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，縱坐標(biāo)（函數(shù)值y）沒變，所以f()=f()（f()表示函數(shù)值）
（2）橫坐標(biāo)原來為x，對(duì)稱后變了，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，x1=2a-x,所以f(x)=f(2a-x)，
講解關(guān)于點(diǎn)（a,0）對(duì)稱時(shí)求表達(dá)式，由于縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉硐喾磾?shù)，
所以f()=一f()，同樣橫坐標(biāo)也可以由中點(diǎn)公式得2a-x,所以f(x)=一f(2a-x)，分析得很清楚。
（六）暴露學(xué)生思維
本節(jié)課應(yīng)該說學(xué)生的思維還是比較活躍的，在老師的幫助下，學(xué)生表現(xiàn)比較積極、投入，課堂氣氛活躍，學(xué)生能夠根據(jù)自己的理解提出方案，對(duì)于問題的解答反映還是比較快的，但是也不排除有個(gè)別學(xué)生可能由于問題的抽象性，對(duì)于問題的本質(zhì)缺乏充分的認(rèn)識(shí)及自身理解水平的問題，對(duì)于問題的下一步是什么，如何思考沒有想法。
可改進(jìn)建議：由于課堂容量較大，教師可能考慮到時(shí)間的問題，對(duì)于后幾個(gè)問題沒有讓學(xué)生有充分的時(shí)間思考，有些思維慢，或理解不夠的學(xué)生可能跟不上，在下面沒有反應(yīng)，建議教師事先出張學(xué)案，將要研究的問題羅列出一張?zhí)峋V，讓學(xué)生在課前去思考，這樣上課的聽課效率可能會(huì)更好。
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